Как решать такие системы?

Готовим Песочный ПИРОГ • Сметанный, очень вкусн... 
Канал @arinablog
Канал @ValeryVolkov
Instagram: / volkovege
Поддержать Проект: donationalerts.ru/r/valeryvolkov
Группа ВКонтакте: volkovvalery
Почта: [e-mail]

[@sergten]

Если решать не алгебраически а геометрически, то можно заметить, что второе уравнение - это сфера с центром в начале координат и радиусом √108, а второе уравнение - плоскость, отсекающая пирамиду с ребрами по 18 и равносторонним треугольником в основании, каждая грань которой - прямоугольный треугольник с прямым углом у вершины. Найдя высоту этой пирамиды равной тоже √108, приходим к выводу, что плоскость касательна к сфере, а значит решение единственное (иначе была бы окружность). Так как вся конструкция симметрична, то x = y = z. Дальше либо алгебраически из первого уравнения, либо геометрически проекцией основаниа высоты, получаем 6.

[@user-sv3dk6ft1d]

Тоже сперва о таком способе подумал. Радостно, что есть люди с похожими мыслями.

[@alexthinking4436]

Вы правы. Я задачу именно так и решил.

[@user-fe3rf4yb9h]

Капец,в жизни так не решил бы

[@user-be9vc5zq7g]

@@user-jx4sk2vg7n гениями не только рождаются, но и становятся🙂

[@mikaelhakobyan9363]

Янина, только становятся

[@AlexeyEvpalov]

Два красивых способа решения. Спасибо.

[@user-vr5lt5sh3z]

Понятны оба способа, но второй очень красивый! Спасибо!

[@666fedr]

красивый, но смахивает на решение от перебора вариантов: мы ищем, когда ж наконец у нас будет там 0, а если числа будут поболее?

[@allayar7]

@@666fedr вы очень правы👍

[@tatyanaturisheva76]

Спасибо огромное! Получаю истинное удовольствие --от объяснений, от уточнений, от различных вариаций решения и данного задания, и множества других! Всегда рада общению с такими учителями. Благодарю!

[@rejeporazmetow3930]

Я восхищаюсь вашим умением простотой объяснения. Как бы я хотел бы так уметь объяснять.как всегда моя оценка бесконечное число звёзд. Спасибо Вам.мне оба способа очень понятны.

[@tetyanapakhomova9872]

Не перестаю восхищаться способностями автора в поиске сложных и интересных задач! Благодарю в очередной раз и жду новых изюминок))

[@alexl6671]

Это не сложная задача, а скорее легкая. Сложной она была бы если бы в первом равенстве вместо 18 было бы 0

[@Gosha-U]

Второй способ - просто красота!

[@user-ud1mp6vu9o]

Оба способа понятны! Больше понравился второй способ.

[@armn1825]

Найдем расстояние от центра сферы (х^2+у^2+z^2=108) до плоскости (х+у+z-18=0) по формуле (учебник геометрии в помощь). Это расстояние =6√3 = R(сферы). Решение одно. Система инвариантна относительно замены х на у, у на z и y на z. Значит, одно решение достигается только при равенстве переменных. Легко его находим

[@yakovravitz2670]

Напоминает преобразования Лоренца для скорости в трехмерном пространстве.

[@galynaoksyuk6260]

Оба способа понятны; мне самой сразу пришел в голову геометрический подход. Такое впечатление, что у Вас в рукаве ещё припасено несколько красивых решений) Впечатление волшебное. Спасибо!

[@awrRoman25]

Lifehack: если видите что число переменных больше числа уравнений то скорее всего решение единственное (для экзаменов/олимпиад с вероятностью > 99%). Далее пытаетесь найти это единственное решение (например все переменные равны) и доказываете что других решений нет (например проводите к сумме квадратов равной нулю)

[@user-ms2pg1te7p]

Почему то сразу пришло 6+6+6, 36*3=108,а теперь, докажи:))

[@user-ib8ss9nj4j]

Такие задачи часто встречаются на Олимпиадах. Лайк за второй способ

[@allbirths]

да если 2 уравнения с 3-я неизвестными имеют ограниченное число решений, значит,как минимум 2 параметра там равны. Но!! решение может быть не единственным,и нужно всегда очерчивать диапазоны значений,и вот по первому 3x^2=108 четко видим 6, но дальше надо проверить сумму, подходит! но на этом нельзя останавливаться, нужно проверять ближайшие значения, меняя диапазоны, ну типа 7 и ...108-49 =59 = 2x^2. Делим. находим среднее. начинаем подбор в пределах диапазона, и там не только 7 будет, там до 10 дойдем

[@allbirths]

это уравнения для подгона, для примера 7 8 8 получаем прирост от степеней 177/ к сумме 23 - это примерно в 7-8 рах, можно подобрать, если числа целые. А в заданиях, походу, всегда числа одинаковые, чтобы было единственное решение Просто делим сумму квадратов на сумму переменных! пример для 4 4 4 (16+16+16) /12 = 4 , для 5 5 5 3*25/15=5, данный пример 108/18=6. Примеры вот так бадяжат: 6*6 + 6*6 + 6*6= 6(6+6+6). В задании есть и левая часть и правая, но 6 перед скобкой - это 108/18. Вот он и ответ. Мой пример: 7 8 8 , получаете 7-8 и ищете их сочетание, 2 параметра будут равны точно, а так как задание подогнано под одно решение, то все 3. Даже в примере с двумя равными неизвестными видим 7*7 +7*7+7*8 то это будет чуть больше чем 7(7+7+7) . Ответ 7-8.

[@user-be9vc5zq7g]

@@allbirths спасибо, что показали изнанку!🤣

[@user-fq1pg1fr2v]

Азамат Гареевич на олимпиадах? Пхахахахха. Систему решать на Олимпиады никто не даст. Это слишком легко

[@asd-rm2gx]

@@user-fq1pg1fr2v разве?...

[@user-pf3oe8cv7x]

Обожаю ваши системы!!!

[@user-vn2zo4uw7i]

Я решал так: 108 / 18 = 6, тоесть 1 уравнение * 6 = 2 уравнению; 6(x + y + z) = x² + y² + z²; решил это уравнение и получил ответ x = y = z = 6.

[@user-ce7kv1qc5u]

как же вы решили? просто мне кажется, что там ход решения станет одинаковым, что будет почти одно и то же)

[@semenrastopchin942]

Спасибо за ваш труд!

[@user-be9vc5zq7g]

Как всегда лайк!🌺

[@true7781]

Решите систему ❶:(в задаче нет условия: решить в действительных числах) 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟖 𝒙² + 𝒚² + 𝒛² = 𝟏𝟎𝟖 ОТВЕТ: 𝒙 = (𝟔 + 𝜷) ± 𝒊⸱𝜷⸱√𝟑, 𝒚 = (𝟔 - 𝟐⸱𝜷), 𝒛 = (𝟔 + 𝜷) ∓ 𝒊⸱𝜷⸱√𝟑, где 𝒊² = -𝟏, параметр 𝜷 ∀ 𝜷 ∈ℝ В частности, при 𝜷 = 𝟎, 𝒙 = 𝒚 = 𝒛 = 𝟔.

[@KingArkon]

Как вообще вы написали эти знаки?

[@true7781]

​@@KingArkon Здравствуйте.​ "Как вообще вы написали эти знаки?" Уточните какие знаки. Некоторые, возможно, так же как и Вы знаки: ꧁ ꧂ Некоторые *alt + код* (на цифровой клавиатуре справа).

[@KingArkon]

@@true7781 спасибо, понятно. Например, знак + и -, знак бетта и т.д

[@true7781]

​@@KingArkon Здравствуйте. "Спасибо, понятно..." alt + «код» - означает: нажать клавишу "ALT" и *неотпуская её* набрать *Юникод (десятичный) символа* на цифровой клавиатуре справа. Например символ градуса (°): *alt + 248* --> °.

[@user-pc7kd4ed3l]

Очень полезные обьяснения

[@arystanspace1174]

x+y+z=18 это поверхность с нормальным вектором (1 1 1) x^2+y^2+z^2=108 шар с радиусом корень из 108. Найдем минимальное расстояние между центром шара и поверхностью, чтобы найти точку пересечения, окружность пересечения, или пустое множество. Поэтому проводим нормальный вектор через (0,0,0), видим что вектор (1 1 1) можно записать как x=y=z, значит точка на поверхности которая ближе к центру шара это x=z=y=6. А для шара допустим что 3x^2=108, где снова x=6=z=y. Поверхность и шар имеют одну точку пересечения на (6,6,6). Допустим, если бы поверхность была внутри шара, не на его границе, то ответ будет тяжелее найти, так как ответом будет окружность, с бесконечным количеством ответов (для R чисел).

[@user-ow9qk6pk1i]

Все способы прекрасны. Готовлю ужин и наслаждаюсь Вашими размышлениями. Спасибо

[@user-de7zf6sx7p]

Как всегда интересно спасибо😘💕

[@user-de7zf6sx7p]

Так понравилось, что еще раз просмотренных и получено удовольствие

[@ilhamqurbanov9024]

Добрый вечер Валерий. Как жизнь? Всё отлично. Мне больше всего понравился 1 -й способ. Он более интересный обширный и объёмный. А я люблю такие задачи. Спасибо вам большое.

[@user-bo9lp6bx1q]

Красиво, доступно.Спасибо

[@marvelous-caelum]

Большое спасибо!

[@user-jx4sk2vg7n]

Потрясающе!

[@user-zn3tc3kp3h]

Второй способ очень понравился! Оригинально!👌✊🙏💗‼

[@katajator4114]

Второй способ самый понятный и простой. Спасибо

[@mathcoach99]

Валерий, здравствуйте. Хотелось бы Вы систематезировали Ваши уроки по темам....И в начале обсуждалась стратегия решения. Конечно лайк! Но после того, как Вы говорите,, попробуйте, былобы круто услышать Дорогу решения...

[@ouTube20]

Хотелось увидеть применение формул для решения симметрических уравнений с тремя неизвестными.

[@nazimavaleeva3752]

Все понятно спасибо

[@user-hw1fb4tm8m]

А если несколько изменить задание, заранее перейдя к его геометрической интерпретации - к уравнению сферы и плоскости? При этом ввести параметр - или радиус сферы или правую часть уравнения плоскости. И поставить задачу как поиск параметра, удовлетворяющего условию. Условие хорошо бы задать тоже "геометрически". Например: пересечение сферы и плоскости (окружность) должно проходить через точку с координатами x,y,z. Ну скажем: через три точки x,y,0 x,0,z и 0,y,z - то есть касаться всех трёх координатных плоскостей. Не знаю, понятно ли растолковал идею. :) Сейчас попробую покрутить такую задачу

[@av273]

Вот это видео я даже пожалуй сохраню, а то скоро школа, я думаю как раз что то такое будет

[@user-mv6he4kf8c]

Благодарю

[@user-th1kb9ej6f]

Спасибо большое ! Второй способ легче!

[@user-ni7lg8bp1u]

Второй способ более понятен, спасибо

[@user-rw4hb1iu9w]

Я рассуждал следующим образом. Минимальная сумма квадратов 3 чисел будет если они все равны, в нашем случае 6. Сумма квадратов будет 108. Любые другие числа в первом равенстве дадут большую сумму квадратов. Т.е. других значений быть не может, кроме равных 6.

[@viktorkholodar5611]

За несколько секунд я увидел ответ 6, просто пример очень простой, главное методы решений. Нет времени, но я вижу есть и другие методы.

[@viktarkrylov5604]

если оценить сразу с помощь неравенства Коши-Буняковского: (1+1+1)(x^2+y^2+z^2)>=(1*x+1*y+1*z)^2 3(x^2+y^2+z^2)>=(x+y+z)^2 равенство возможно при x=y=z

[@MM-kz9pd]

На глаз видно, что все шестерки подходят

[@srg2soft]

да я тоже успел подобрать все 6 пока даже ролик не начался

[@shohjahonzikirov9731]

2 способ просто красота!!!

[@Hevonn]

Красивые способы.

[@lisav.3061]

Я решила первым. Второй - показался интереснее

[@user-ht9yk3vg1d]

Я тоже

[@nilufarjalolova4104]

Очень красиво...

[@alexl6671]

Вообще такие системы решаются с переходом в полярные координаты. Просто тут повезло, что решение только одно а не бесконечное множество.

[@user-ft4kg6mi2k]

Блестящее объяснение!

[@ernestdecsi5913]

Szép megoldás!

[@user-rq4rm8qy5t]

Спасибо

[@OrkhanAli666]

Очень хорошее обьяснение

[@s1ng23m4n]

Мы тут видим систему из двух уравнений с тремя неизвестными. Это означает, что в общем случае решений бесконечно. Но если условие говорит, что система решаема, то мы можем потребовать, чтобы одна переменная зависела от другой. Можно ввести коэффициент пропорциональности между этими переменными, но в таком случае, если этот коэффициент не равен 1, то действительных решений не будет. А далее записываем, например z = y, составляем уже систему из двух уравнений с двумя неизвестными и решаем каким хотим способом.

[@user-yb4rk2js9e]

Когда я учился в школе, обожал решать такие уравнения. Когда учился в вузе , решал дифференциальные. Через год на пенсию. За всю жизнь мне вся эта муть ни разу не понадобилась.

[@user-yf6nn8nx8l]

Зато мозги развились!

[@ivanivanov9409]

Всё гораздо проще: Уравнения инвариантны ко всем трем переменным -> следовательно они все равны -> 3х=18 -> х=y=z=6

[@kabidenakhmetov2391]

Оба способа не сложные, но второй более короткий. Спасибо!

[@user-bl2lj9ff3c]

Круто!!

[@user-jq1xx9yn9x]

-Познавательно.-

[@user-js7dk5kn5d]

С использованием скалярного произведения двух векторов (1;1;1) и (x;y;z) решение устное.Меняя эти два вектора таких систем можно наштамповать сколько угодно.

[@TenzorOG]

Элегантно!

[@superartmebli2452]

Класс!

[@cyberdefender1859]

Где вы находите эти задачи?

[@paulsnow2809]

А теперь найдем комплексные корни...

[@biotel]

Красиво

[@user-de7zf6sx7p]

Второй способ шедевр

[@alexandergretskiy5595]

Спасибо. Для любого решения (а,в,с) должно быть еще пять решений, получающихся перестановкой. Сколько всего "независимых" решений может быть? Если одно, то сразу получаем ответ x=y=z=6. А вот после этого начинаем манипулировать с системой, чтобы получить пару уравнений, одно из которых (x-6)**2 + (y-6)**2 + (z-6)**2=0, что покажет единственность решения.

[@AndreyGuild]

Как и следовало ожидать никакого способа решения "таких" систем не приведено

[@MetaDriver33]

у Волкова всегда (уровень обобщения) = 0. к сожалению.

[@grifenririh4228]

Оба понятны и красивы!

[@user-zt9nr8zw8b]

Выучил так проста

[@user-wy3mr6nj6w]

Можно найти решение, если учесть тот факт, что в двух уравнениях системы содержаться две неизвестные (иначе решение не найти). То есть, по сути, или две переменные равны или же все три равны друг другу)))))

[@KPafka]

Один только вопрос: где на практике/в обычной жизни применяются эти вычисления?

[@user-sq7vl2et3h]

В супермаркете ;)

[@user-dl6yk5rr7i]

Если кто-то спросит, что такое красивая математика - то это второй способ решения этой системы

[@user-rr5kj7hj3r]

что такие уравнения напоминают что нужно искать какие-то линейные операторы . подстановки и т.д. но так оба понравились

[@lonsdale88]

гениально

[@psychSage]

Годный второй метод

[@rejeporazmetow3930]

Увожаемый учитель . Валерий Волков , у меня есть тоже несколько примеров. Но я не знаю как Вам отправить. Подскажите пожалуйста что нужно делать , чтобы Вам отправить мои примеры. Спасибо за ранее.

[@ValeryVolkov]

В описании канала есть почта.

[@leopoldcat3719]

Решение x=y=z=6 видно сразу. Делаем замену переменных x=u+6, y=v+6, z=w+6. Из первого уравнения получаем u+v+w=0, из второго получаем u^2+v^2+w^2 +2(u+v+w) +3*36 = 108, то есть, u^2+v^2+w^2 =0. Отсюда u=v=w=0 - единственное решение. Всё считается в уме.

[@user-sg8wj9oe8x]

Идеально!)

[@gulnoramamajanova1547]

Спасибо Понравился Второй

[@nagdelinagdeli2787]

Понятен обе способы,но наиболее эффектный 1 ый

[@YuriiTrehub]

Есть и более сложный способ. :) xy+xz+yz=108 x+y+z=18 z=18-x-y xy+(x+y)(18-x-y)=108 y^2+(x-18)y+(x^2-18x+108)=0 D=-3(x-6)^2, D>=0, x=6. x=6; y=6; z=6 (6;6;6)

[@mikaelhakobyan9363]

Хороший способ в лоб

[@prorider6574]

Ничего этого не делая подобрал все значения)

[@mikaelhakobyan9363]

@@prorider6574 Доказал, что других решений нет?

[@user-be9vc5zq7g]

Мне тоже понравилось ваше решение!🙂

[@MB-mi6ro]

Круто красавчик лайк

[@konstkaras]

Как бы я решал: так же нашёл бы xy+yz+zx, а по теореме Виета числа x, y и z являются корнями многочлена t³-18t²+108t+a (где коэффициент a неизвестен). При любом a и действительном t производная этого многочлена больше 0, следовательно, двух разных действительных корней у него быть не может, и если его корни действительны, то они равны. Вот так иногда математическое образование мешает находить простые и красивые решения.

[@TheAntur]

Два уравнения с тремя неизвестными имеют бесконечное множество решений.

[@zawatsky]

Я сразу угадал, без решения. )

[@user-sg8wj9oe8x]

Задача для решения в уме. Все три переменных симметричны в уравнениях. Отсюда вывод: либо они равны, либо образуют симметричные тройки чисел. Проверяем первое предположение: из первого уравнения находим сразу ответ 6. Проверяем решение на втором уравнении и удостоверяемся, что предположение было верным.

[@alexl6671]

А если первое предложение не верно, то тогда что делать?

[@lebushe]

можно в данном случае представить сумму (2) уравнения как 6^2+6^2+6^2, ну и снять все квадраты, благо они у каждого одинаковые. а x+y+z как 6+6+6, значит x,y,z=6,6,6

[@servenserov]

Красиво, логично! Увы, сам решил только подбором. Незачёт.

[@frederikasderikas1365]

Такой способ тоже часто подходит.

[@user-ep3bq2mx5h]

Оба варианта хорошие

[@user-iz6gi1rf4t]

Решил двумя другими способами. 1. Как писали ниже, через ангеом, легко и устно. 2. Т.к. 2 ур-я с 3 неизвестными. то переносим зет тупо вправо и смотрим на него как на -говно- параметр. Дальше решаем относительно x,y, которое плавно переходит в u,v. Получится фишка, что в кв.ур-ии окажется неположительный дискриминант, который автоматом приравниваем к нулю и зет приобретает единственное значение 6, ему же равны остальные переменные как кратные корни

[@elsenoruclu1753]

Əla 👍

[@echosabre]

Видя такие уравнения первое что делаю, предполагаю что x=y=z. Ещё не решая получается что они равны по 6. Ну конечно нужно проверить , подставив во вторую, и о чудо, 6 подходит)

[@aiaioioi]

на сферу очень похоже, можно с этим дальше думать и работать ахах

[@salyababushkina911]

Куда я нажала, куда я попала.любииии вы мозг👍👍👍👍приклоняюсь перед вами.я поняла какая я ноль во всех тих x y z 😯

[@dasbits]

Методом угадывания получилось решить за 3минуты))

[@konstantintomilin8385]

Проще путь через замену переменных: x=6p+6, y=6q+6, z=6r+6. Тогда два уравнения: p+q+r=0 и (р+1)^2+(q+1)^2+(r+1)^2=3. Но левая часть всегда больше либо равна 3 и равна 3 при p=q=r=0. Отсюда x=y=z=6.

[@konstantintomilin8385]

Добавлю: если раскрыть квадраты и учесть, что p+q+r=0, то получаем р^2+q^2+r^2=0. Следовательно p=q=r=0.

[@gayanesimonyan9213]

Thank

[@user-rk6un5bj6m]

В математике такие системы называются симметричными. Замена переменных не изменяет систему т е замена x на у на z и т д .Отсюда сразу вытекает что неизвестные равны и получаем решение

[@papericco2274]

Мне понятно, иакооой приятный голосок

[@archilarkania7203]

Чисто геометрически это возможно решить? Явно выглядит как сложная задача для этого. Плоскость и сфера в 3 возможных расположениях.

[@mikaelhakobyan9363]

Возможно и очень даже легко) Просто нужно проверить не является ли эта плоскоть касательной к сфере. Ввиду симметричности всех уравнений относительно x, y и z очевидно, что если плоскость касается к сфере, то касается в точке, где биссектриса трехмерного угла между тремя положителными полуосями пересекается со сферой. Координаты этой точки легко найти как стороны куба, диагональю которого является радиус сферы - sqrt(108) / sqrt(3) = sqrt(36) = 6. (6, 6, 6) удовлетворяет уравнению плоскости, следовательно плоскость касается к сфере, а значит больше общих точек между ними нет.

[@mikaelhakobyan9363]

@@archilarkania7203 Я доказал, что плоскость касательна к сфере, что еще нужно?

[@ashotgasparyan2291]

Мне кажется можно было рассмотреть неравенство Коши между среднего арифметического и среднего квадратического и прийти к выводу , что неравенство достигается при равенстве x=y=z

[@MB-mi6ro]

Да рабочая схема

[@user-ml6yd3vr2g]

Второй способ мне понравился больше.

[@GradeGradeZ]

Система от индусов! Там 108 число божественное.

[@herardpique7302]

подбором, секунд за десять