Задача о вращающемся квадрате

Решаем одну задачу тремя способами: через равенство треугольников, через вписанные углы в окружности и с помощью кинематики.
Найдите отношение отрезков диагонали • Найдите отношение отре...

[@sibedir]

Т.е. в принципе это можно сказать про любую точку на стороне вписанного квадрата (который вращается)? Не только середину? Так. Дайте осознать. Каждая точка этого квадрата движется поступательно. Похоже на задачу с падающей пристенной лестницей, но только как бы с масштабированием. Точнее так: В той задаче лестница - это сторона вписанного квадрата постоянного размера. А стена и пол - части описанного, который масштабируется. А. Ну да. Прямолинейная траектория остаётся прямолинейной, сколько ни крути и ни масштабируй систему координат.

[@schetnikov]

Браво!!!

[@ВикторК-ъ6ф]

А разве в задаче о падающей приставной лестнице середина движется по прямой?

[@schetnikov]

@@ВикторК-ъ6ф По окружности. Но здесь явно есть какое-то родство, и наверное, его можно даже просто выразить через преобразование масштаба, если подумать.

[@sibedir]

@@ВикторК-ъ6ф ооо, точно. Всё таки я балда. Я опять всё перепутал. Почему-то я помнил, что там прямая. Тогда буду сегодня додумывать эту мысль. Там явно должна быть какая-то взаимосвязь

[@ВикторК-ъ6ф]

@@schetnikov Я насчет последней фразы " Прямолинейная траектория остаётся прямолинейной, сколько ни крути и ни масштабируй систему координат." ...

[@alex_freeman89]

Как красиво вы решаете задачи. Спасибо вам

[@aypepa]

Красивые геометрические решения! Что касается физического решения, то нужно упомянуть, что из симметрии, если одна вершина движется равномерно, то и другая тоже. А так -- блеск!

[@-wx-78-]

В принципе очевидно что линейная комбинация линейных комбинаций в свою очередь тоже является линейной комбинацией. Поясню что я имею в виду. Пусть AB и BC - стороны угла большого квадрата, D и E соответственно вершины малого квадрата где-то на этих сторонах. Рассмотрим радиус-вектора (пусть A̅ обозначает радиус-вектор точки A и т. д.), хотя знакомые с аффинной геометрией могут складывать и сами точки. 😉 Для τ ∈ [0; 1] D̅ = τB̅ + (1-τ)A̅, E̅ = τC̅ + (1-τ)B̅. Если F - середина DE, тогда F̅ = ½(E̅ + D̅) = ½(τC̅ + (1-τ)B̅ + τB̅ + (1-τ)A̅) = ½(τC̅ + B̅ + (1-τ)A̅), а это уравнение отрезка между серединами AB и BC. Его можно прочитать и по другому: это середина отрезка между B и какой-то точкой AC (с радиус-вектором τC̅ + (1-τ)A̅), она лежит на средней линии ΔABC. В общем случае каждая точка этого резинового отрезка (делящая его в отношении α:β считая от конца, α ∈ [0; 1], β = 1-α) движется по прямой α(τC̅ + (1-τ)B̅) + β(τB̅ + (1-τ)A̅)) = ταС̅ + (1-τ)αB̅ + τβB̅ + (1-τ)βA̅ = τ(αC̅ + βB̅) + (1-τ)(αB̅ + βA̅) даже при произвольном расположении самих точек A, B и С. Слева уравнение точки отрезка через его концы, справа уравнение траектории через её концы (которые делят AB и BC в отношении α:β). P. S. Это смутно мне напоминает кривую Безье второго порядка, у которой точка застряла (и получилась прямая).

[@sibedir]

опять бот комментарий удалил ( В общем, 👍 . Но это еще, в какой-то мере, верно и для кривых. Точнее вот это - это частный случай самоподобия при таких преобразованиях.

[@sibedir]

(см. комментарии к этому же ролику в VK)

[@sibedir]

Пока размышлял над этой задачей, почему-то подумал, что на канале не хватает проективной геометрии. Там ну оооочень вкусные доказательства есть. Я в ней новичок. Как почитаешь чего-нибудь из неё - мозг чувствует себя, как тело после пятикилометровки.

[@schetnikov]

Я когда-то провёл занятный курс, в котором в том числе и проективная геометрия была представлена. Вот его материалы, они сохранились: vk.com/s/v1/doc/Bm6mGsjkCFLa11MhPDsyp9FnJH2Rsovv4nxPY-2gzBRhfkNnd-A

[@sibchem]

Спасибо, было интересно и красиво!!

[@serhiislobodianiuk776]

Ну третий способ, пожалуй самый красивый, вот WX-78 уже все написал в своем комментарии. Вот Вы аккуратно считали составляющие скорости и вывели, что середина двигающегося отрезка двигается начиная от середины одной стороны в направлении другой середины. Но можно просто сказать, что ее скорость прямолинейна, ведь это полусумма двух прямолинейных движений, а зная начало и конец, я знаю и траекторию. Через две точки можно провести одну прямую!

[@schetnikov]

Полусумма двух движений - это хорошо сказано:)

[@serhiislobodianiuk776]

@@schetnikov Спасибо! Если не всем зрителям понравится, то можно выразится так: "полусумма двух линейных функций из временного отрезка в плоскость".

[@ВикторК-ъ6ф]

Видно напрямую из кинематической схемы, что компоненты скорости любой точки отрезка ( стороны вписанного квадрата) в процессе поворота постоянны, т.к. пропорции частей отрезка на которые он делится этой точкой при повороте не меняются, следовательно она движется по прямой. Скорость точки постоянна, а значит пропорциональна длине отрезка - траектории. Еще это означает, что стороны любого вращающегося квадрата делятся точкой пересечения со сторонами любого неподвижного вписанного квадрата в постоянной пропорции.

[@mathmix1057]

Интересно... 👍👍👍

[@sibedir]

Ребят, возьмите любую кривую и отложите её последовательно два раза (чтобы начало совпало с концом). Причём второй экземпляр можно поворачивать как угодно. А потом покрутите, как с квадратами (переход от первого положения во второе). На бумаге от руки, конечно, сложно точно начертить, но вырисовывается интересно.

[@sibedir]

С прямыми отрезками там вообще всё понятно. Проецируем "бегущий" отрезок на перпендикуляр к начальному положению отрезка (или конечному) и находим пропорции.

[@sibedir]

Вах! Забыли про проективную геометрию. Там всё сложно. Это же преобразование множеств умножением и сложением с векторами!

[@Ольга-т5х4ч]

Ловко!

[@canniballissimo]

У Андрея решение красивое, а у Алексея понятное. Как-то так

[@Олег2Пурышев]

Ничего себе

[@polmodas4494]

потрясающее решение

[@_iipocta4ka_441]

А собственно где вопрос в первой задаче? - Дано ... , оказывается ... Предлагаю вам решить задачу. На этом всё, а что найти? Как говорится: Что можете, то и находите.

[@СергейВоскресенский-я7ю]

В видео не было озвучено в чем вопрос заключается ?

[@schetnikov]

Вы правы. Но я надеюсь, все умеют отличать догадку от доказанного утверждения (вообще-то не все:), и тем самым поняли, в чём заключается вопрос задачи.

[@АлександрГагарин-н3е]

В кинематической задаче осталось не раскрыто как было найдено уравнение х и у составляющих вектора движения центральной точки, а выдвинуто аксиоматически... Так же и с углом поворота, на которое опирается первое решение задачи, это утверждение не было доказано в результате видео, а выдвинуто аксиоматически... Также из анимации движения вписанного квадрата видно, что стороны квадрата меняют славою длину от 1 до 1/х и снова до 1, так и по у. Так для начала не следовало бы найти уравнение движения вершин сторон, затем получить уравнение движения серединой точки, а затем уже переходить к доказательствами. Так что мы пока получаем частное решение задачи о вписанной фигуре вращающейся внутри n-угольника... Давайте попробуем эту задачу решить в общем случае!!! Спасибо, было интересно

[@schetnikov]

Методом пристального всматривания найдено. А вообще-то там всё очевидно. Можно представить себе, что сторона квадрата - это такая резинка:)

[@Al_Shakron]

Мда, не только у меня возникли претензии к скорости и идеи применения разности векторов (чем по сути является скорость). Эх, вспоминается юность и слова математика: «по очевидным соображениям эти треугольники равны, а теперь рассмотрим подробно, почему это очевидно». 😊😁

[@mustang2mipt]

Последнее третье решение неправильное :) Используется, но не доказывается утверждение, что в любой момент времени при постоянной скорости одной крайней точки другая будет двигаться также с постоянной скоростью. Из условий задачи можно говорить лишь о совпадении средних скоростей, а не мгновенных. Ну а лично я решал через параметр: координата точки (а/2, (1-а)/2), 0

[@aypepa]

Из симметрии следует, что если одна точка движется равномерно, то и другая тоже, при этом сам квадрат может вращаться с неравномерной угловой скоростью.

[@mustang2mipt]

@@aypepa про симметрию там специально забыто :). Рассматривается просто отрезок. Но, перед "забыванием", действительно, можно (нужно!) это отметить.

[@StanislavPatashin]

В чем состоит задача не сказали и приступили к решению? Прикольно.

[@бообвооб]

Я один изначально не понял что нужно решить?

[@maxshercreate]

Так а что за задача? Условие и задание не озвучили