2 CÍRCULOS E 1 QUADRADO

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Encontre Área do Quadrado

[@GlaucoDeVita]

Quando desenhou o triângulo, já vi que o lado vale 2, por causa do triângulo pitagórico clássico 3,4,5...

[@ProfessoremCasa]

Perfeito! 😃

[@jonasml1]

Poderia ter outro formato o triângulo, mesmo a ipotenusa medindo 5..

[@brunomaia2693]

se fosse um retângulo poderia modificar os valores do triângulo retângulo

[@aquelequepescaoficial]

Existem outros triângulos retângulos com hipotenusa igual a 5 cujos catetos não são 3 e 4. Entretanto os catetos não são números inteiros.

[@EdgarMenezesPLeite]

Fantástico!!!!

[@lacj2811]

Fiz por geometria analítica, por exemplo: o vértice da direita está na circunferência da direita, então através da equação da circunferência centrada no ponto (5,5), encontra-se o lado do quadrado resolvendo a equação quadrática.

[@ProfessoremCasa]

Eita!! Show!

[@jonathan.souza.]

Me explica ?

[@Vivalavida1809]

Poderia explicar?

[@gabriellemenezes4905]

Boa noite ! Podemos também considerar o triângulo retângulo 3 / 4 e 5. Nesse caso a hipotenusa sendo 5, obrigatoriamente os catetos adjacentes e oposto serão 3 e 4. Então, se o raio é 5 e o catetos adjacente é 3 Então 5 - 3 = 2. Que é a lateral do quadrado.

[@MarcoPolo-xu9te]

Não necessariamente. Como o enunciado não diz que os lados são inteiros, eles poderiam ser fracionários. Mas o raciocínio foi válido no fim das contas.

[@ProfessoremCasa]

Cuidado só com a parte do "obrigatoriamente", porque isso não procede. Podemos sim ter triângulos retângulos com hipotenusa 5 e catetos diferentes de 3 e 4. Só é possível comprovar de cara um triângulo pitagórico 3 4 5 desses quando se tem dois dos três lados. O que você poderia ter feito é tentar encaixar o 3 e o 4 ali, substituindo o x por valores convenientes e, obtendo êxito, continuar com a resolução. Entendeu?! 🙂

[@erickgrajau2620]

Não entendi

[@cesarcerveira2875]

​@@ProfessoremCasa Perfeita observação. Só quero "ilustrar" com um exemplo: o triângulo Retângulo Isósceles. Tem dois Catetos iguais e pode ter hipotenusa valendo 5.

[@felix_afbj]

ainda que o triângulo fosse isósceles, o raciocínio dela funcionaria, pela mesma lógica. @@cesarcerveira2875

[@beneditobarreiros9961]

Excelente exercício para buscarmos em nossas reminiscências os velhos conhecimentos.

[@vanialazaro2470]

Me deu saudade do cursinho ❤ adorava esse tipo de questão, faz uns 20 anos já que não estudo matemática, mas se botar um trem difícil desse para eu resolver acho que consigo sim.

[@priscilahelen2439]

Volte a estudar, deixa a gente bem❤

[@vanialazaro2470]

Olha que deu vontade!

[@johncardoso7428]

Tá na hora de voltar vania

[@Mucurex]

Para qualquer par de círculos tangentes que tenham um quadrado entre eles tangenciando ambos ao mesmo tempo, o lado desse quadro sempre sera equivalente a 40% do raio dos círculos. Além disso, para que o raio de um círculo e a diagonal do quadro sejam colineares o lado do quadrado deverá ser aproxidamente 0,39647 vezes o raio do círculo. O que, curiosamente, é bem próximo do valor anterior.

[@ProfessoremCasa]

Show de bola

[@homerofilho7366]

entao se o par de circulos fossem de raio 10, o lado seria 40% dele ? sendo 4 o lado ?

[@MauroGuerreiro]

@@homerofilho7366 Sim.

[@wolfmagal7280]

Excelente! Parabéns. Me prendeu e aprendi! - matemática / geometria são muito bonitas!

[@ProfessoremCasa]

Opa! Fico feliz com isso! Estamos juntos! Abração! 😀

[@malakoidohebraico2223]

Muito bom professor... Orgulho em ser inscrito do seu canal

[@ProfessoremCasa]

Felicidade em ter um inscrito assim! 🙂

[@ideilsonsilva989]

aula maravilhosa! didática excelente! um pouco de paciencia, aplicação dos conhecimentos e dá certo! :)

[@ProfessoremCasa]

Muito obrigado!! Estamos juntos! 🙂

[@paulocarvalho1962]

Muito bom !!!

[@DaniloSilva-mi6qh]

Alguém sabe por que ele não alterou o sinal de menos para mais quando nos primeiros cálculos e no final quando chegou a -2 . -10 ele trocou?

[@ProfessoremCasa]

Eu tinha: x² - 12x + 20 = 0 Aí reescrevi essa equação faturando ela, ou seja, transformando numa multiplicação. x² - 12x + 20 = 0 (x - 2)(x - 10) = 0 Duas coisas, que multiplicadas, igualam a zero. Ou uma é zero, ou outra é zero. Daí igualamos os fatores a zero pra encontrar os valores de x. x² - 12x + 20 = 0 (x - 2)(x - 10) = 0 x - 2 = 0 x = 0 + 2 *x = 2* x - 10 = 0 x = 0 + 10 *x = 10* x = 2 é a resposta que cabe melhor. 🙂

[@prefeitobear9209]

Sotacão fera. Boa aula, professor.

[@luizcarloseirasbalceiro431]

Problema muito interessante. Parabéns professor.

[@luissantanna6494]

Quando o senhor desenhou o triângulo retângulo, isso me fez lembrar as questões de geometria estilo triângulo russo que que são resolvidas com construções auxiliares: Triângulos isósceles, equiláteros... Obrigado pelo ensinamento, mestre.

[@ProfessoremCasa]

Boas essas questões. Estamos juntos, irmão! Forte abraço! 😃

[@leandrocarvalho-lz5iu]

Sem comentários!! O bicho é brabo!! ✌️

[@MatheusSilva-qm3ph]

Muito bom! Resolve se der por favor, umas questões de concurso, o do trt15 para analista de TI estava bem difícil por exemplo. Obrigado.

[@sinvalfelisberto]

Muito obrigado pela questão! Realmente bem delicinha de responder!

[@ProfessoremCasa]

Valeu! 😄

[@erikagomesdas.martins5945]

Mano que professor sensacional 🎉

[@airtonlieuthier]

Eu comecei a pensar dum jeito mas tive que voltar.... Obrigado por nos prestigiar com conhecimento, Felipe Abraços e um excelente ano pra nós

[@ProfessoremCasa]

Show de bola! O importante é tentar sempre! Que tenhamos um ano maravilhoso!!!

[@brunotenorio7842]

Top demais!!!

[@Kaskarigudu]

Saudades das minhas aulas no terceirão! Dom Bosco Curitiba!

[@ProfessoremCasa]

Bons tempos!

[@robisonluiz5826]

Parabéns pela excelente solução. 👏👏

[@ProfessoremCasa]

Obrigado! 🙂

[@Mascig83]

Bom dia, prof. Felipe. Jamais conseguiria deduzir que, a partir de um triângulo retângulo, seria possível realizar este exercício. Questão típica de exames dificílimos como ITA e IME.

[@rudineifauth783]

Somos dois

[@ProfessoremCasa]

Opa! Por isso é bom estudar por esse tipo de questão. Amplia bastante a visão para resolver outras coisas dentro da área de geometria. 🙂

[@lhrolim]

Ita e ime, tb não vamos exagerar ne! Diria mais para um colégio naval ou epcar. Saudações iteanas! Parabéns pelo trabalho professor!

[@dropschar]

Muito boa didática. Parabéns!

[@ProfessoremCasa]

Obrigado! 🙂

[@JoseCosta-wc5xs]

Muito bom! 👏

[@ProfessoremCasa]

😃

[@glrv8646]

Muito legal Muito legal!!!

[@ProfessoremCasa]

😃

[@M_Goulart]

Muito bom ! Top

[@ProfessoremCasa]

😃

[@moisesmartins2546]

Gênio! 😮

[@AlfaKenyBody]

Deu a volta ao mundo. Triângulo retângulo 3, 4 e 5. Cateto maior =4. 2 catetos mais lado = 10. Logo lado vale 2 e área = 4... cqd

[@nivaldoabreu9882]

Aula showwww, parabéns prof

[@ProfessoremCasa]

😃

[@fabioazevedo2313]

Como vc deduziu que o prolongamento de reta (no caso, igual ao comprimento do raio) divide o quadrado exatamente ao meio?

[@osielsoares3926]

Exelente!!!!!

[@ProfessoremCasa]

😃

[@juliosalvati3232]

Não consegui resolver esta, mas curti e aprendi com a explicação!

[@ProfessoremCasa]

Opa! Estamos juntos, meu irmão!

[@antonioribeiro3791]

Belo exercio pra memória.

[@anaalicec3182]

Arrasou.

[@kleberleites]

"PENSACIONAL", PARABÉNS !!!

[@ProfessoremCasa]

😄

[@mauriciorodrigues9991]

Sensacional.

[@ProfessoremCasa]

😃

[@rafaelmarianijr.4949]

Parabéns, foi um ótimo exercício ... grande revisão!

[@ProfessoremCasa]

Valeu, irmão! Estamos juntos! 😃

[@marciojsm]

Muito legal relembrar o vestibular

[@ProfessoremCasa]

😃

[@albertodesouzaribeiro]

Muito boa, interessante a solução. Fez o exercício geral, que vale para qualquer triângulo retângulo. Nem sempre os retângulos são pitagóricos. O raio poderia ser 7,8,...9,81; ou qualquer unidade. A explicação foi abrangente e serve p/qualquer número. É assim que deve ser p/qualquer problema em matemática, física,...

[@mariamoura4967]

Bom demais

[@josemarsilva]

exercício divertido

[@ruansi09]

Excelente raciocínio.

[@ProfessoremCasa]

Valeu! 😃

[@cilomiarraz]

Muito bom.

[@ProfessoremCasa]

🙂

[@rafaeldasilvaclementinocle288]

Muito bom adorei os cálculos

[@ProfessoremCasa]

Valeu, irmão! Estamos juntos! 😃

[@hipnofago2102]

Eu infelizmente não sei raciocinar dessa forma, sou péssimo em matemática, então só olhei o alinhamento do quadrado com a linha do raio da circunferência, chutei que metade do lado do quadrado seria igual a ⅕ do raio, ou seja, o metade do lado do quadrado é 1, o lado inteiro é 2, e sendo quadrado a área seria 2²=4 Não me orgulho do meu raciocínio kk

[@ProfessoremCasa]

Continue tentando resolver as questões e anotando as resoluções. Parte importante do aprendizado é fazer isso. Você vai melhorar muito com isso. Estamos juntos, irmão! 😃

[@gilbertopereira2048]

Boa lógica! Parabéns

[@ProfessoremCasa]

Valeu! Estamos juntos! 🙂

[@maxwillians4076]

Muito obrigado

[@ProfessoremCasa]

Estamos juntos! 😃

[@rafaelfassi]

Peguei um caminho diferente. Considerando a equação do círculo: x^2+y^2=r^2, e percebendo que para esse problema, r-y é o lado do quadrado que procuramos para r-x sendo metade do lado, montamos as seguintes equações: y=√(r^2 - x^2), (r-x)*2=r-y y=√(5^2 - x^2), (5-x)*2=5-y Resultado em x=4 e y=3 Assim, L = 2*(r-x) = 2*(5-4) = 2 ou L = r-y = 5-3 = 2 A = L^2 = 4

[@heronzincanejo1069]

tava impossivel esse

[@levandoasaladeaulaparacasa]

Pensei da seguinte forma e gostaria de compartilhar. Seja o trapezio cuja base maior é 10m, a medida que dista de centro a centro no circulo dado. Seja x a medida da base menor e 5-x a altura do trapezio, consideramos x

[@ProfessoremCasa]

Muito bom! 🙂

[@dircubrapapay]

Excelente

[@ProfessoremCasa]

Obrigado! 🙂

[@marceloassiz9121]

Quem dera tivesse um professor assim no meu tempo de escola...

[@jaimesinclair9585]

As razões 3x/4x/5x em um triângulo retângulo é imutável, portanto o lado só poderia ser igual a 2. Mas a explicação inteira é sempre muito bem-vinda. Parabéns pelo exercício bem elaborado.

[@ProfessoremCasa]

Opa! Muito obrigado, irmão! Só cuidado, porque apenas sabíamos que a hipotenusa era 5. Somente com a hipotenusa 5 não se pode garantir que os catetos sejam 3 e 4, porque existem infinitos triângulos retângulos com hipotenusa 5 e catetos diferentes de 3 e 4. Apenas um exemplo seria o triângulo retângulo de catetos √21 e 2 e hipotenusa 5. Entendeu?! 🙂

[@ygusta9513]

BRABO

[@GabrielLima...]

Tentei fazer da seguinte maneira: Declarei x para os lados do quadrado, tracejei 2 raios em uma circunferência, uma para baixo e uma em direção da diagonal do quadrado. Depois, utilizando o Teorema de Pitágoras, tendo: um cateto com o valor 5 e outro cateto de valor 5 + x/2 e a hipotenusa valendo 5 + x√2. Depois obtendo o resultado, elevei por 2 o resultado. Porém, não consegui realizar.

[@gsantosoliver]

Tentei assim tbm e o resultado nao bate. Sera que podemos considerar que a hipotenusa realmente alinha com a diagonal do quadrado?

[@GabrielLima...]

@@gsantosoliver eu resolvi com trapézio agora. Mas eu percebi que o raio do círculo pode não coincidir coom a diagonal do quadrado

Fiz igualzinho 😊

[@JeffersonMorais1975]

Sensacional!!! Questão típica de ITA, IME… Parabéns pelo canal!!!

[@victorhugobodenmueller74]

Boa noite professor, uma dúvida. Se eu imaginar o seguinte triângulo retângulo: Hipotenusa = raio + x raiz (2) (diagonal do quadrado); Cateto = raio; Cateto raio + x/2. Por acaso chego na mesma resposta?

[@ProfessoremCasa]

Excelente pergunta, Victor! Apesar de ser tentador pensar assim, não é possível comprovar que o centro de um dos círculos, o vértice do quadrado que tangencia esse mesmo círculo e o vértice do quadrado oposto a este são pontos colineares (e de fato não são). A conta, em si, fica bem "bizarra" num dado momento, se tentar fazer... 😄 Qualquer outra dúvida, só falar. 😀

[@123lima5]

Para todo triângulo retângulo de hipotenusa 5, os catetos são 3 e 4. Ao achar o 3 do cateto oposto, automaticamente sobre 2 para o X. Matou a questão

[@audacious1876]

Quando o desenho está na proporção correta é possível achar o valor da área apenas usando o compasso e fazendo a marcação nas retas que sinalizam o diâmetro(mas isso seria burlar). Foi assim que no começo do vídeo cheguei no resultado de 2m imaginando o uso do compasso. Mas obviamente não valeria pra uma resposta na prova sem demonstrar o cálculo. As simplificações ao final do cálculo eu meio que não peguei o raciocínio. Obrigado por compartilhar seu conhecimento!

[@ProfessoremCasa]

Opa! Esse desenho está com as proporções corretas. Deu certo por isso. 😄 Obrigado pelo carinho, irmão! Estamos juntos! Abração! 😀

[@fernandaocamposdoval8624]

Professor, eu desenhei um trapézio ligando os raios com o quadrado e dentro do trapézio fiz o triângulo retângulo. Quando vi que a hipotenusa era 5, já soube que a altura do trapézio era 3 e uma parte da base maior era 4. 4 de um lado da base maior e 4 de outro, 8. Então a base menor valia 2, logo a área: 4m² ❤

[@brunosaisi]

Também usei pitagoras, mas considerei o lado do quadrado como 2x pra evitar fração nas contas :)

[@Olaranjeira]

Top

[@augustinhovargas5504]

Professor , o senhor mostrou muito bem a solução traçando o triângulo pitagórico, se o cateto é 3m segmento do raio 5m ,fica claro que o segmento complementar do raio que determina o lado do quadrado é 2m, ali estava resolvido a questão, mas o senhor fez todo aquele caminho com cálculos "estratosfericos " ,com certeza pra fazer o aluno pensar mais expandindo a consciência. Parabéns.

[@jonasml1]

Mas la não tem nada dizendo q o cateto é 3. Apenas a ipotenusa é 5. Os catetos poderiam ter medidas diferentes, imagina se tivesse um retângulo ao inves de um quadrado la no meio

[@cipher3451]

Não tinha dizendo que o cateto valia 3m

[@StudyAugusto]

Feliz ano novo!! :D

[@ProfessoremCasa]

Feliz 2024, irmão! 😃

[@gsantosoliver]

Pergunta: Se eu extender a hipotenusa, ela coincidira com a diagonal do quadrado? Se sim, porque fazendo usando essa premissa nao consigo fazer a resposta bater? Obrigado.

[@joseluizalves2052]

Quando fez o traço da linha de 5 metros para baixo Percebi que a lateral do quadrado tinha 2/5 da altura da linha Sendo então lateral de 2 metros X base de dois metros e igual a 4 metros quadrados. Muito mais simples.

[@Heisen-d3n]

8:34 essas roubadinhas que sempre me prendem na hr. No caso a verdadeira lógica e seu porquê. Pensar e ver. Mas na hr , já grita mamãe

[@miqueinhamgtow2961]

fiz um pouco diferente a análise do triângulo retângulo, mas cheguei no mesmo resultado: a diferença foi que, ao invés de representar metade do lado do quadrado como (x/2), acabei representando esse valor direto como x. Se por umm lado evitei as frações todas, por outro eu tinha que lembrar no final de multiplicar o x obtido por 2, pra ter o valor do lado inteiro, não só sua metade.

[@luizpereira1690]

Mui bom

[@silvanodecastrocastro4609]

Professor eu fiz de cabeça e acertei!

[@Acsssaaa]

Like. Top

[@ma2tos]

Fiz a equivalência já que o triângulo retângulo tem lados proporcionais a 3, 4 e 5. Fazendo 5-X = 3 e 5-X/2=4 para achar X=2. Finalizando S = 4 m

[@thiagopessoa8356]

B tarde.. excelente videt. Será que por semelhança é uma forma de fazermos?

[@rafaelefrem]

Eu considerei a diagonal do quadrado pra somar com o raio e gerar uma hipotenusa maior. O raciocínio tava certo, mas me embananei na equação depois, que ficou gigantesca e eu não lembro mais como resolve equação de segundo grau. 😅

[@smartcleanbelem2948]

rapaz que viagemmmm kkkk.... mais muito top a resolução rss

[@ProfessoremCasa]

Valeu! Obrigadão! 😃

[@tonipregeli7928]

Faz por seno e cosseno que é mais fácil.....

[@eleonorsecond]

ta doido q é mais fácil. eu fiz quase q de abeça isso aí.

[@edilsonferreiraalves3582]

parabens

[@ProfessoremCasa]

Valeu! 🙂

[@xisde_gabriel]

coisa linda essa questão aí ein

[@ProfessoremCasa]

😃

[@BRUBRUETNONO]

The other solution of 10 is also valid with a square with the two summits on top of the two circle

[@ruandossantospereira3477]

Questãozinha boa

[@celsoafpires]

Eu fiz, calculando a distancia do ponto onde canto do quadrado toca o círculo até a base. Deu o mesmo resultado, obviamente , mas acho que fiz mais contas..... ponto de encontro: 1-seno(y) = 2(1-cosseno(y)); sabendo que seno(y)=raiz(1-cosseno(y)²); chamo o seno(y) de x: 1-x = 2(1-raiz(1-x²)); fazendo a conta x=0,6, que é o seno(y); lado = (1 - 0,6) * 5 = 2 area = lado² = 4;

[@ProfessoremCasa]

Pode me explicar melhor? 🙂

[@joaowilsonvieira6196]

Misericórdia! Não sabia nem por onde começar. Kkk. Deixa eu fazer uma reza aqui: valei-me são albert eistem!!😂😂😂

[@ProfessoremCasa]

Continua estudando, que vai melhorar! Abração! 🙂

[@thiago.zanluca]

Adorava esse tipo de exercício. O que mais carrego comigo até hoje que aprendi com matemática são os métodos de solução de problemas

[@GeovaneSena-cy4vm]

Obs.: se a hipotenusa é 5, um cateto é 3 o outro é 4. Logo: 5-3=2 X=2 2×2= 4

[@ProfessoremCasa]

Show de bola! 🙂

[@claudemirgoncalvesnunes5729]

Brilhante , é um raciocínio lógico. Porém ,se não fosse um quadrado ? Não fiz , só estou perguntando .

[@homerofilho7366]

boa observaçao, classico triangulo 3,4,5.

[@henriquepinto]

Em nenhum momento foi dito que x era inteiro. 3, 4, 5 nao é o unico triangulo retangulo de hipotenusa 5 possivel...

[@jonasml1]

Poderia ter 5 na ipotenusa mas os catetos terem medidas iguais, ou totalmente difetentes, nem todo triangulo com 5 na ipotenusa tem 3 e 4 nos catetos

[@marcoaurelioalvesrattes6588]

Sou Arquiteto aposentado, 74, me diverti, muito bom...

[@ProfessoremCasa]

Fico feliz em ler isso, Marco! 🙂

[@marcoaurelioalvesrattes6588]

eu sofro de Parkinson e a mente não pode parar, a matemática parece estimular isso. Abraço.@@ProfessoremCasa

[@ProfessoremCasa]

Que Deus te abençoe!!!

[@Familia_Nascimento424]

Acertei o resultado so olhando o quadrado. Que nitidamente, para um bom observador, seria 2m o valor de um lado. Sendo assim, 2 ao quadrado. =4m quadrados..

[@elienesavio4490]

Eu também. Kkk Agora se tivesse um resultado como opção um número virgula alguma coisa aí teria que fazer conta. 😊

[@ProfessoremCasa]

Tu me quebrou nessa parte do "que nitidamente, para um bom observador, seria 2m" 😂 Aí não, filhão...

[@MrDicovaz]

Seria interessante fazer uma interpretação da outra "solução", x=10. Seria o quadrado de lado 10, cujos vértices seriam os pontos de tangência de cada circunferência com a linha horizontal e os respectivos pontos diametralmente opostos.

[@gusmm5025]

Dá pra resolver usando trigonometria, já que temos a hipotenusa (valor 5 do raio) e o ângulo de 90° ?

[@KAUA-tg6jc]

Queria muito saber onde vc encontra questões assim. Tem algum livro com questões de geométrica como no vídeo?

[@raposayouko]

Boa

[@ProfessoremCasa]

😃

[@danilomelo2972]

Matei essa depois que você tracejou o triângulo com a propriedade do triângulo "3, 4, 5"

[@ProfessoremCasa]

Muito bom! 🙂

[@maiconvarella8868]

10 segundos pra responder hahahaha

[@veronicealmeida5455]

❤

[@jtereno]

Usei o corpaço e a geometria, para chegar à solução mais rapidamente.

[@ProfessoremCasa]

Com compasso é mais fácil... 😄

[@user-dy8gc9kt3c]

Brabo !

[@ProfessoremCasa]

😃

[@DrDarioPalhares]

Foi muito boa, mas no minuto 9, na resolução da equação do segundo grau, percebe-se quando o professor acochambra. Sugestão: edite o vídeo, mencionando o método poh-shen-lo de resolução de equações quadráticas. Basicamente, quando a=1 (tem que transformar a equação para que a seja 1), as raízes são: - b/2a +/- SQR ((b^2)/4 - c). No caso, b = - 12, logo - b/2a = 6 e (b^2)/4 = 36. 36- 20 =16, SQR = 4. 6 +/- 4 = 2 , 10. Ou seja, Bháskara meio que já era, o meio mais fácil de resolver equações é poh-shen-lo.

[@clainersouzadesouzasouza7878]

joia professor! um problema plano, resolvido com geometria plana.

[@ProfessoremCasa]

Sim! Valeu! Estamos juntos! 🙂

[@SCREAM523]

O nível de estudo que precisa ter pra enxergar tudo isso analisando as figuras é surreal

[@ProfessoremCasa]

É questão de prática. 🙂

[@pedro.4360]

era so pegar o lapis e medir o tamanho de um lado dos quadrados, e depois colocar a medida comparado com o raio, ae temos o valor dos lados, e depois so mutiplicar e temos a area-

[@ProfessoremCasa]

Funciona mesmo, mas só porque essa figura tem a proporção perfeita. Numa figura de proporção mexida teria problemas. 🙂