Гиперболические функции и формула Эйлера

Изучая комплексные числа • Комплексные числа | Оп... мы оставили без должного внимания формулу Эйлера. Сегодня мы еще раз к ней обратимся, посмотрим, как она появляется вполне естественным образом.
Параллельно мы посмотрим, как появляются гиперболические функции.
читает Игорь Тиняков для канала Элементарная Математика
#комплексныечисла #формулаэйлера #гиперболическиефункции

[@Verbalizator]

Очень хорошее, сжатое объяснение, что такое гиперболические синусы и косинусы. Супер!

[@user-sw1tk5ro5q]

Классный канал, Вы один из тех в интернете, благодаря которым я понял много тем из вышмата в 9 классе. Гиперболические функции это крутая надстройка над обычными тригонометрическими функциями, и с помощью них можно работать с фигурами кривого типа. Вот в школьной программе все красивенько, гладенько, ровненько, а если копать дальше, то придется иметь дело с интересными изгибающимися, волнообразными, кривыми фигурами, фигурами под гиперболой и т.д. Спасибо за то, что расширили мое представление о функциях и математике в целом, чем дальше, тем интереснее

[@elemath]

🙏🏻

[@sandroudchenco7951]

Вторая производная гиперболического косинуса равна гиперболическому косинусу. Очень красиво

[@elemath]

О, да!

[@sandroudchenco7951]

Добрый день! Благодаря Вам я полюбил математику, очень хотелось бы увидеть ваше объяснение про логарифмы.

[@viktorzvrn12]

Тоже жду от этого автора. Есть на Ютубе Александр Васильевич Спивак про логарифмы

[@sandroudchenco7951]

@UC2eGifMsvciBN77qN5Ma-KA Этот плейлист про базовые свойства логарифмов, хочется ещё глубже посмотреть эту тему.

[@user-bc2ep2mj2n]

Уже понял свою ошибку, извините. Можно наверно было сразу сослаться на это🙃

[@nurseng1840]

Спасибо большое за то что вы делаете, приятно у вас учиться ; )

[@elemath]

Пожалуйста!)

[@user-bc2ep2mj2n]

Я тоже очень хотел бы увидеть больше видео по логарифмам.

[@Germankacyhay]

👍Спасибо что Вы есть. (Дякую що Ви існуєте).

[@elemath]

🙏🏻

[@EtherealHOTS]

Красота!

[@Germankacyhay]

Клëвая лекция❤👍

[@eugenedukatta9355]

45:17 "Логарифм исторически появился как площадь криволинейной трапеции от функции 1/х" - че-то меня это смутило, я заморочился и пошел искать информацию. И вот что я накопал. Само слово "логарифм" и само понятие ввел в обиход Джон Непер в 1614 году, именно как показатели степени при заданном основании, но сделал это в виде таблиц. Скончался Непер в 1617 году. Интегрирование непрерывных функций появилось в трудах Ньютона и Лейбница (первые публикации 1675 год) с появлением и развитием исчисления бесконечно малых. Так что мое смущение подтвердилось. Меня здесь удивило вот что - интеграл от такой простой функции 1/х выражается через "магический" логарифм, то есть натуральный. Магическое число e всплывает в решении простейшего диф.уравнения y=y' и именно это обстоятельство заставляет использовать "экспоненту" в мат.анализе - с ним все очень просто получается. И вот неожиданно площадь под 1/x тоже "число Эйлера" содержит.

[@elemath]

kzbin.info/www/bejne/mpu8hJ6lgrqjgrMsi=YRu06dufIeFl6Bvr

[@sandroudchenco7951]

Здравствуйте! А в каком выпуске разбиралось, что при уменьшении размера в k раз площадь изменяется в k² раз. То есть утверждение на 27:15 минуте. Это вполне очевидно для случая например площади прямоугольника, однако для более сложных фигур не понятно. Заранее спасибо за ответ

[@elemath]

Здравствуйте! Для каких-либо сложных фигур это и не обсуждалось(. Разве что конструкции, которые делались при вычислении площадей под степенными функциями (kzbin.info/www/bejne/j5DMgpyQfNl4rpI) позволяют получить это утверждение. Ну или конструкция определенного интеграла (чего на канале не было, хотя вскользь обсуждалось).

[@sandroudchenco7951]

Однако, чтобы доказать утверждение на 27:15 минуте надо получить функцию зависимости площади φ от Х.

[@elemath]

@@sandroudchenco7951 Φ=lnx, если Вы про это. Где-то в первой трети видео было.

[@sandroudchenco7951]

@@elemath спасибо, за ответ

[@elemath]

Пожалуйста!)

[@aureliup4494]

Здравствуйте, я правильно понимаю что на 40:45, константа появилась только у интеграла справа потому что он неопределённый? а тот что слева определён, иначе если бы были константы и слева и справа, они бы сократились и почему вы далее используете в качестве определения, именно фи равен нулю чтобы найти C1? Спасибо!

[@elemath]

Здравствуйте! можно и слева писать и справа, но только разные тогда. С1 слева и С2 справа. но потом перенесем С1 вправо и положим С=С2-С1. Так что все равно одной константой можно обойтись. А далее значение в 0 взял для простоты. Можно и в другой точке было считать.

[@olegvertual6787]

Будут выпуски про стереометрию?

[@elemath]

может однажды. не особо популярная тема...

[@TheSlonik55]

Понятно, что эта математика совершенно элементарная….

[@TheSlonik55]

А Пространство Минковского и Метрика Бервальда-Моора будет? За ними Будущее. Пространство в Декартовых координатах устарело. Оно уходит вместе с эпохой. Именно в гиперболических координатах все остальные варианты - частный случай.

[@elemath]

в планах нет(

[@user-vn3wq8yj4y]

:)) Ну да, ещё тупого индюка Минковского, поглумившегося над математикой чисто в угоду (или в попытке посоперничать?) своего не менее "Гениального" ученичка, вспомнить? ... Хотя над всем тем, что излагает лектор, таки тоже витает минковский дух :((

[@elemath]

о, как!

[@romansharafutdinov5262]

Все равно красиво!

[@sandroudchenco7951]

Но как мне кажется было бы можно на 7:54 минуте ввести некоторую другую функцию. η=2/2ξ в таком случае мы бы сразу получили бы гиперболу, с единичным неподвижным радиусом. И дальше нужно будет просто её повернуть на 45°. Я решил попробовать так сделать, мне кажется, что такой способ немного проще. Однако я пришёл к тому, что площадь S, под сектором будет равна (ln (x))/2-(ln(1/√2))/2. Используя формулу Ньютона-Лейбница. Это странный результат, то есть у Вас в видео площадь сектора это Φ/2, в то время как я получил, что площадь сектора примерно равна Φ/2, (примерно, поскольку величина (ln(1/√2))/2)- маленькая)

[@elemath]

так и получается η=1/(2ξ). площадь под такой гиперболой на отрезке [1;х] (равно как и на [λ;λx]) будет (1/2)lnx=Φ/2

[@sandroudchenco7951]

@@elemath Да, действительно площадь под такой гиперболой на отрезке [1; х] =Φ/2 Но в гиперболе η=1/(2ξ) искомую площадь сектора будет представлять площадь трапеции на отрезке [1/(√2) ; х] Которая как раз и не равна Φ/2

[@sandroudchenco7951]

Я записал также видос, чтобы более точно сформулировать проблему у себя на канале. Называется Площадь сектора ...

[@elemath]

Почему у Вас только левый конец отрезка [1;х] изменяется? 1->1/√2. Надо бы и правый х->х/√2. В предыдущем комментарии см.

[@sandroudchenco7951]

@@elemath Я собственно х в х/√2 не переводил, потому как я рассматриваю функцию η=1/(2ξ) в осях η и ξ; А для того чтобы найти площадь трапеции, которая равна искомой площади сектора мы будем интеграл от точки 1/√2 до той точки где луч неподвижного радиуса касается нашей гиперболы. То есть от точки 1/√2 до произвольной точки. Вот собственно для нахождения площади и используем пределы интегрирования от 1/√2 до х. Если сделать как Вы говорите, всмысле точку х заменить на х/√2, то всё получается как нужно. Всё ок.

[@Rashid_Karimov]

Всю лекцию челюсть отвисала от красоты и изящества доказательства, пока к концу лекции i на sin0 не получилось равным 1, а на 40:55 "С" из показателя не убежало вниз, став множителем. Вообще не понял как это. Это потому что я такой тупой, или это и есть та самая недостаточная строгость? У меня в итоге там получилось i=e^С. Ну и мне конечно такое не решить. В целом благодарю за лекцию.

[@elemath]

Да, длинная лекция вышла, к концу, похоже, усталость возникает. По Вашим наблюдениям. С не «убежало вниз», там возникла С₁=e^C - новая константа. Вообще, если есть произвольная константа, то любая допустимая операция (функция) над ней, не сужающая множества значений, снова дает константу. «i на sin0». Тут нет ссылки на время, но если это там, где искали С₁, то в выражение f(φ)=cosφ+isinφ вычислялось при φ=0. f(0)=cos0+isin0=1. cos0=1, isin0=0. Если Ваше наблюдение связано с другим моментом, укажите, пожалуйста, время - попробую прокомментировать)

[@Rashid_Karimov]

@@elemath , премного благодарен за пояснения. Вы правы, именно то место на видео я и имел ввиду. Теперь стало понятно на счёт С, а на счёт isin0 видимо действительно усталость сказалась - почему-то при просмотре был твёрдо уверен, что sin0=1)).

[@eugenedukatta9355]

Контент зачетный, НО! Откуда мы в начале решили, что функция 1/х это повернутая гипербола в своей канонической форме? То что они похожи - не считается.

[@elemath]

xy=1 приводится к канонической форме нехитрой заменой х=х'+у', у=х'-у' (которая является поворотом системы координат на 45⁰)

[@user-vn3wq8yj4y]

Всё, что чтец лекции излагает за гиперболические функции, не имеет отношения к формуле Эйлера. Действительно, подставив в формулу Эйлера некое действительное число х, мы увидим, что угол между sh(x) и ch(x) тождественно равен нулю. ... "Возьмем кривую второго порядка гиперболу" = немедленно упираемся в определение этой кривой второго порядка! А теперь попытайтесь подсчитать, сколько раз чтец упоминает слово "фокусы", фигурирующее в определении? Хотя сами фокусы у чтеца таки да присутствуют, в виде подмены одних тригонометрических функций иными тригонометрическими же функциями :(( ... Да, имеется уравнение r^2-x^2=s^2 , которое является уравнением ПРЯМОЙ ЛИНИИ: хотя это ближе к теме, но r и x - тоже не совсем гиперболические функции; но это уже другая, не менее интересная, история! ... Всё это выглядит как усилия по обеспечению кормовой базы для всяких минковских, сазановых и К°, которые позже станут паразитировать на буквосочетаниях "сигнатура", "мнимый угол", "скалярное произведение" (при отсутствии векторного), "великое наследие товарища Псевдоэуклида" и прочей гадости :((

[@elemath]

неплохо сказано!

[@DidiKhan919]

@@elemath Ну и выдержка у Вас, Игорь - уважаю!