Интересная задача о заключённых, подбрасывающих монеты

Двух заключённых помещают в отдельные камеры и дают по монете. Каждый из них подбрасывает монету, после чего пытается угадать, какая сторона монеты выпала у другого. Если хотя бы один угадывает, то обоих освобождают. В противном случае обоих казнят. Каким образом им следует действовать, шанс на освобождение оказался максимальным?
Эту задачу можно решить, не имея ни малейшего представления о теории вероятностей, а можно, наоборот, использовать теорию вероятностей при её решении. В последнем случае можно рассмотреть два случайных события, каждое из которых заключается в том, что конкретный заключённый угадал сторону монеты, выпавшую у другого.
Наша задача - максимизировать вероятность суммы этих событий.
В своих рассуждениях будем использовать теоремы сложения и умножения вероятностей, а также понятия независимости и несовместности случайных событий.
Видеоролик Александра Панчина "Мозг против теории вероятностей"(ссылка содержит тайм-код, соответствующий началу изложения условия интересующей нас задачи в ролике): • Мозг против теории вер...

[@artyvokivon3681]

Ваууу, это просто пушка! Очень изящное решение! Спасибо за хорошее объяснение

[@FrolovSergei]

На здоровье! Рад, что решение Вам понравилось! Вам спасибо за просмотр и за отзыв!

[@aristofer]

Ну как увидел, что нужно дать стратегию действий, то сразу понял, что это теория игр

[@Vitechka22]

Удивляет не факт наличия у полковника 9 млрд, а тот факт, что ему не хватило этой суммы откупиться.

[@alexlaw378]

Скорость x1,75 и будет интересно слушать)))

[@FrolovSergei]

Да, это очень полезная функция Ютьюба!

[@maxmatemaf8556]

Классический вариант этой задачи - про гномов и колпаки.

[@ДмитрийИвашкевич-я8т]

Спасибо за интересную задачу. Одно не понятно, зачем привлекать здесь теорию вероятностей. В предложенной стратегии только два варианта развития событий: 1) У второго выпадает такая же сторона монеты как у первого, 2) У второго выпадает другая сторона. Оба варианта приводят к успеху.

[@FrolovSergei]

Вам спасибо за просмотр и за отзыв! "Одно не понятно, зачем привлекать здесь теорию вероятностей." Конечно, можно не привлекать! Именно об этом я в видеоролике и говорю. Мол, данную задачу можно решить, не имея ни малейшего представления о теории вероятностей. Но мне интересно было взглянуть на задачу и с точки зрения "теорвера". Заодно получили забавное противопоставление независимости и несовместности событий. Фактически, в ролике представлены два варианта решения.

[@Micro-Moo]

@@FrolovSergei Поскольку первое решение показывает, что само понятие «вероятности» для доказательства успешности стратегии избыточно, только оно и является «настоящим», отражает суть дела, которая есть голая логика. А второе решение - типа «вероятность есть, но её нет.» 🙂

[@alexeyfominykh8864]

Хорошая задача. Думаю, что вполне на теорию вероятностей. Интуитивно мне показалось сразу, что вероятность не может быть 1. Оказывается, что может)

[@FrolovSergei]

Я тоже сначала думал, что единица недостижима.

[@Micro-Moo]

@@FrolovSergei Класс! А у меня, признаюсь, получилось ещё хуже: я сразу же нашёл идею правильной стратегии, но даже перед началом доказательства думал: «ну-ну, всё равно ведь ничего не получится», и ошибся. Благо доказательство это секундное дело. Да, хороший щелчок по носу. Спасибо!

[@boulderrush5233]

> представления о теории вероятностей Зануда во мне говорит что это все же не теория вероятностей, а теория игр. Для несведующих вот прям так и называется один из разделов математики с поисками в той или иной мере оптимальных стратегий поведения.

[@FrolovSergei]

Точно!

[@Micro-Moo]

Правильно. В том и изящество задачи: лукавый закос под теорию вероятностей. В процессе решения выясняется, что никакой теории вероятности там нет, так как вероятность 0 или 1 это такой частный случай, который является достоверностью, а, значит, не требует теории вероятностей.

[@Олег-м4в5н]

А почему не учитывается несчастный СЛУЧАЙ - выпадение гурта, ребра монеты?

[@FrolovSergei]

Если вопрос задан серьёзно, а не с целью троллинга, то ответ следующий: рассматриваемая математическая модель эксперимента подразумевает падение монеты на ребро невозможным.

[@Олег-м4в5н]

@@FrolovSergei Серьёзно. Когда подбрасывают монету, загадывая желание, то, как правило, она падает либо на «орла», либо на «решку». А иногда монета встаёт на «ребро», и тогда считается, что вопрос не разрешён. Его нужно срочно решить, то есть, нужно повторить действие. Отсюда и пошло выражение «вопрос стал ребром». Любопытный эпизод произошел перед поединком чемпионата Южной Америки по футболу Колумбия - Парагвай. Когда капитаны команд и главный арбитр Хебер Лопес с помощью монетки разыгрывали «мяч или ворота», та упала на газон и встала ребром. Пришлось повторять процедуру. Сам матч, состоявшийся в среду, 8 июня, в Пасадене (США) закончился победой колумбийцев со счетом 2:1, см. kzbin.info/www/bejne/aIKmg3injL-bqZY

[@Vitechka22]

Вероятность в принципе стать заключённым обратно пропорциональна квадрату украденного.

[@Micro-Moo]

А почему не кубу или не степенной функции?

[@Vitechka22]

Степенной функции точно нет, ведь е⁰=1, т.е. украл 0 и 100% в тюрме. Уж совсем как-то нелогично.

[@alexf4292]

У нас была теория игр, но такой показательной задачи не разбирали, только оценивали эффективность стратегии, но не было методики поиска правильной стратегии

[@Micro-Moo]

Вы неявно предполагаете, что заключённый сначала подкидывает монету, потом видит результат, а только потом делает попытку угадать. Из ваших слов этого «видит» не следует. Если человек подкидывает монетку, он необязательно видит результат - возможна схема, когда результат падения видит только служащий тюрьмы. Такое условие обязательно нужно оговаривать.

[@FrolovSergei]

Мне кажется, что это предполагается по умолчанию. Наоборот, следовало бы специально оговорить ситуацию, при которой охранник прикрывает упавшую монету от заключённого рукой, поскольку эта ситуация нетипична. Я, кстати, ещё не оговариваю, что у обоих заключённых всё в порядке со зрением... А, возможно, следовало бы! :-) Вообще, когда мы имеем дело с "текстовыми задачами", а не с задачами, формулируемыми на строгом математическом языке, приходится мириться с тем, что многое отдаётся на откуп здравому смыслу читателя условия. Если в таких задачах пытаться оговаривать всё, что только можно, то условие может разбухнуть до неприличных размеров. Ах да, я же ещё не оговорил ситуацию, при которой монета падает на ребро! :-) На занятиях по теории вероятностей всегда найдётся студент, который, считая себя весьма оригинальным и остроумным, обязательно предложит преподавателю учесть эту ситуацию при рассмотрении задачи на подкидывание монеты.

[@Micro-Moo]

@@FrolovSergei Ну, хорошо. Я вас понимаю, но для меня ни то, ни другое соглашение по умолчанию неочевидно. Поэтому лучше оговаривать, это же очень легко. Насчёт «на откуп здравому смыслу» можно согласиться, и вообще это вопрос тонкий. Я бы предложил оговаривать всё, в чём можно усмотреть потенциальную тень сомнения. Для «остроумных» студентов с этим пресловутым падением на ребро всегда можно держать в загашнике оценку вероятности такого события, так, для общего кругозора и развития чувства масштаба.

[@alx71376]

Складывать можно только вероятности несовместных событий. Учи матчасть.

[@FrolovSergei]

Будьте любезны, приведите, пожалуйста, тайм-код того момента в видеоролике, в котором я, с Вашей точки зрения, допустил ошибку или высказал ложное утверждение (тем самым, видимо, заслужив столь хамский стиль общения с Вашей стороны). Тогда разговор будет более предметным.

[@alx71376]

@@FrolovSergei угадывание стороны монеты другого - совместные события. Вероятность этого нельзя рассчитывать как сложение вероятностей несовместных событий. Учи матчасть.

[@FrolovSergei]

@@alx71376 Нет. Если один называет сторону, выпавшую у него, а другой ту сторону, которая у него не выпала, то эти события несовместны. Оба заключённых не могут угадать стороны монет одновременно; это означало бы, что выпавшие стороны монет одновременно являются одинаковыми и разными, чего не может быть.

[@vadimemelyanov1115]

@@FrolovSergei Честно говоря, это достаточно неочевидный момент в рассуждениях, возможно из-за того, что до этого было решение "без привлечения теории вероятности", а тут началось решение "с привлечением", и не ожидается, что результаты предыдущего решения будут тут учитываться. Если же учитывать, что событие А (угадал первый) - это выпадание РР или ГГ, а событие B (угадал второй) - это выпадание РГ или ГР, то несовместность событий А и В становится, да, очевидной

[@FrolovSergei]

@@vadimemelyanov1115 Не сказал бы, что я учитывал результаты предыдущего решения. Но я действительно посчитал, что невозможность одновременного угадывания заключёнными сторон монет очевидна. Но да, возможно, мне стоило бы остановиться на этом чуть подробнее.

[@Kurama.00]

Я не смотрел это видео, но если б я был на месте заключенного, то назвал бы противоположное выпавшему у меня, потому что вероятность, что выпали разные значения - 50% одинаковые - по 25% … Если б я мог обсудить стратегию с кентом до броска, то попросил бы его назвать его же значение после. Я охватываю вероятность разных значений, он - одинаковых. Это был бы изи вин … И не нужно тратить 13.5 мин на видос

[@АндрейАа-э7о]

Вероятность выпадения одинаковых и разных монет одинакова.

[@Kurama.00]

@@АндрейАа-э7о Я имел в виду: орел и орел - 25% орел и решка - 50% решка и решка - 25%

[@vadimemelyanov1115]

@@АндрейАа-э7о Да, действительно. Элементарные исходы: РР РГ ГР ГГ, каждый с вероятностью 1/4 . Вероятность события, что выпало РР или ГГ (т.е., что выпали одинаковые монеты) - 2/4 или, что то же самое, 1/2. Аналогично, вероятность события, что выпало РГ или ГР, также 1/2 . То есть вероятности выпадения одинаковых и разных монет совпадают

[@Micro-Moo]

Мы все умеем кратко пересказывать суть видео, этим никого не удивишь. Готов поверить, что вы сами пришли к этому решению. Но кто-то всегда сможет предположить, что вы сначала посмотрели видео. Вы не можете на меня обижаться, ведь я не утверждаю, что вы сначала посмотрели и пытаетесь нас обмануть, так как я доверчив. Я только утверждаю, что не все поверят. А тогда в чём смысл вашего комментария?

[@Kurama.00]

@@Micro-Moo предполагать, что к этому сложно было прийти самому, может только тот, кто считает эту задачку невероятно тяжелой… Да, доказать, что я посмотрел только условие я не смогу, да и смысла нет, но это же задача про две монетки… Даже школьник, что не учил теорию вероятностей, может посчитать все исходы на пальцах одной руки