Как доказать, что, если ab+bc+ca=0, то abc представимо в виде m^2·n^3, где a, b, c, m, n

Как доказать, что, если ab+bc+ca=0, то abc представимо в виде m^2·n^3, где a, b, c, m, n - целые?

Рет қаралды 2,449

7 ай бұрын

Целые числа a, b, c таковы, что ab+bc+ca=0. Доказать, что abc можно представить в виде произведения квадрата целого числа на куб целого числа.
Рассматриваем 2 случая: abc=0 и abc≠0.
Во втором случае b+c≠0, поэтому a можно выразить через b и c. Находим наибольший общий делитель чисел b и c, после чего сокращаем его в дроби bc/(b+c), записываем его же в виде отдельного множителя и приходим к несократимой дроби (её числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами). Из её несократимости следует, что наибольший общий делитель делится на знаменатель этой дроби, откуда и получается доказываемое утверждение.

Пікірлер: 14

@whyuevenexist9539 6 ай бұрын

потрясающе

@alexandrsleptsov9061 6 ай бұрын

Побольше заданий на целые числа и диофантовы уравнения и будет просто прекрасно. А ещё, конечно, интересны способы интегрирования и суммирование рядов.

@user-zz8tq5fo9r 6 ай бұрын

Для случая, когда abc не 0: пусть одно из чисел (например a) содержит в своем разложени простое p. тогда bc делится на p (из bc = -a(b+c)). Тогда p содержится в abc хотябы в квадрате. Нетрудно показать, что любую степень простого начиная со 2-й можно представить в виде произведения квадрата и куба. И так по каждому простому. При необходимости домножить еще на (-1)^3.

@alexandrsleptsov9061 6 ай бұрын

Не в тему, но интересно. Пусть n -целое число. Вспомним малую теорему Ферма. n^13-n=n(n^12-1) - делится на 13 n(n^12-1)=(n-1)n(n+1)* (n^10+n^8+n^6+n^4+n^2+1) [где (n-1)n(n+1) делится на 2 и 3] = n(n^4-1)* (n^8+n^4+1) [где n^5-n делится на 5] = n(n^6-1)* (n^6+1) [где n^7-n делится на 7] В итоге n^13-n делится на 2,3,5,7,13 A n(n^12-1)(n^8+n^6+n^4+n^2+1) и (n+13)!/n! вообще делятся на 2,3,5,7,11,13 (6 простых чисел подряд). И задам 3 вопроса. 1.Как правильно доказать, что если x и y - взаимно-простые, то и (3 x^2+y^2) и (x^2+3 y^2) также взаимно-простые, либо оба делятся на 4. 2.Имеет ли решение диофантово уравнение x^3-y^3==2*z^3, кроме тривиальных? 3.Где можно подробно прочитать про обобщённые числа Ферма? Конкретно интересуют числа вида a^2^n+1

@mernakk 6 ай бұрын

Задача не очень интересная, ведь можно придумать следующее решение: Любое число, в которое каждое простое входит в хотя-бы второй степени, представляется в виде m^2 * n^3. Это ясно из того, что степень каждого из этих простых можно представить в виде (2*k + 3*l), так как 2 и 3 представляются в таком виде, а если к ним прибавлять 2, то получим и для всех натуральных чисел не меньше 2. Тогда достаточно проверить, что любое простое входит в abc не менее чем во второй степени. Действительно, если p делит abc, то не умаляя общности p делит a, а значит bc = -a(b + c) тоже делится на p, то есть abc делится на p^2, ч. т. д.

@FrolovSergei 6 ай бұрын

Спасибо за комментарий! А "интересность" чего либо - это понятие весьма субъективное. Поэтому я, когда говорю "задача интересная", каждый раз добавляю (если не забываю): "с моей точки зрения".

@kislyak_andrei 6 ай бұрын

если честно, то я не особо понял, что нам дает то, что мы рассмотрели разложение при авс=0 если кто-нибудь объяснит, что же мы там по итогу получили, то буду очень признателен

@FrolovSergei 6 ай бұрын

Мы отдельно решаем задачу для случаев abc=0 и abc ≠0. В первом случае мы сразу же представили abc в виде произведения квадрата и куба целых чисел и, тем самым, решили задачу для этого конкретного частного случая.

@kislyak_andrei 6 ай бұрын

@@FrolovSergei это я понял Но мы там не используем то, что сумма попарных произведений равна 0

@FrolovSergei 6 ай бұрын

@@kislyak_andrei Да, не используем, верно. А мы и не обязаны это использовать! Если мы можем доказать то, что нам нужно, без использования части условия задачи, то и отлично! Не вижу в этом никаких проблем.