Как найти три последние цифры числа 7^9999?

Каковы три последние цифры числа 7^9999?
Решение задачи фактически сводится к нахождению остатка от деления числа 7^9999 на 1000.
Воспользуемся тем, что 4-я степень семёрки равна 2401. А пятая степень последнего числа оканчивается на 001, т. е., другими словами, сравнима с единицей по модулю 1000. Из этого следует, что число 7^10000 также сравнимо с единицей по модулю 1000. Зная это, уже несложно, с использованием свойств сравнений по модулю, получить остаток от деления числа 7^9999 на 1000.
Ролики, в которых рассматривались числа, оканчивающиеся на 00...01:
• Можно ли найти такую н...
• При каком наименьшем н...

[@-wx-78-]

7 и 1000 взаимно просты. По теореме Эйлера 7**φ(1000) ≡ 1 (mod 1000). 1000 = 10³ = 2³·5³ ⇒ φ(1000) = 2³⁻¹·(2−1)·5³⁻¹·(5−1) = 400. 7⁴⁰⁰ ≡ 1 (mod 1000) ⇒ 7¹⁰⁰⁰⁰ = (7⁴⁰⁰)²⁵ ≡ 1²⁵ = 1 (mod 1000) ⇒ 7·7⁹⁹⁹⁹ ≡ 1001 = 7·11·13 (mod 1000) ⇒ 7⁹⁹⁹⁹ ≡ 11·13 = 143 (mod 1000).

[@kingofgeneve]

Да, так гораздо проще.

[@user-yq9ju4ge6q]

для интереса посмотрел сколько умножений надо сделать при решении задачи "в лоб" (метод быстрого возведения в степень по модулю) - получилось 20 умножений трехзначный чисел (правда умножать придется на x0x, что конечно чуть упрощает)

[@user-qk5zi9lt4r]

По простому ....7^5 => последняя цифра 7 ... каждая пятая степень будет давать последнюю цифру 7( в разряде единиц) так как умножение закольцовано по значению последней цифры))😜... Тогда степень 9999 можно представить в виде кратном 5 .... 9999= 1000-1 .... Поэтому 7^9999= 7^(10000-1)= 7^10000(последняя цифра 7) :7^1=> то есть последняя цифра будет соответствовать эквивалентному выражению 7^4 = 49*49 .... То есть в разряде единиц будет 1.....просто не знаю что такое mod 😅

[@FrolovSergei]

"каждая пятая степень будет давать последнюю цифру 7" Это ошибочное утверждение. Вот контрпример: 7^10=(7^5)^2=(...7)^2=...9. Т. е. последняя цифра числа 7^10 - девятка.

[@zabitkhalifakuliyev2271]

ф(1000)=400 9999-9600=399 7³⁹⁹=х(mod1000),но 7⁴⁰⁰=1(mod1000)(по Эйлеру) 7×7³⁹⁹=1(mod1000) 7×7³⁹⁹=1001{mod1000) 7×7³⁹⁹=7×11×13(mod1000) 7³⁹⁹=143(mod1000)

[@alfal4239]

7^4 = 401 -> 7^8 = 801 --> 7^16=601 --> 7^32 = 201 --> 7^64 = 401 Поэтому 7^60 = 1