Как найти предел последовательности n^2/((n^2+1^2)(n^2+2^2)...(n^2+n^2))^(1/n) при n→∞?

Найти предел последовательности n^2/((n^2+1^2)(n^2+2^2)...(n^2+n^2))^(1/n) при n, стремящемся к бесконечности.
Для решения задачи воспользуемся формулой, выражающей определённый интеграл через предел последовательности его интегральных сумм.
Для этого после упрощения выражения, стоящего под знаком предела, переходим в данном выражении к основанию e. Добиваемся того, чтобы в показателе степени появился натуральный логарифм произведения, который преобразуем в сумму логарифмов, совпадающую, как раз, с интегральной суммой легко берущегося определённого интеграла.

[@andreybyl]

Классная задача, простая но сразу много приемов требует и смекалки. Всем бы так подробно и не торопясь пояснять . Особенно порадовало, что четко проговорили условия применимости частного случая теремы о пределе композиции)

[@FrolovSergei]

Большое спасибо за просмотр и за столь содержательный отзыв!

[@ИльхамАбдуллаев-я7р]

Здравствуйте Сергей .Давно не заходил на канал.Видео встретил внезапно.Очень красивая ,лёгкая хоть и олимпиадная задача.Спасибо Вам За Оригинальное Решение.

[@FrolovSergei]

Здравствуйте, Ильхам! Рад снова видеть Ваши комментарии под своими роликами! Большое спасибо за просмотр и за отзыв!

[@Nikita-fx]

безумно понравилось решение задачи, оно не сложное и красивое!

[@FrolovSergei]

Благодарю за просмотр и за отзыв!

[@НиколайП-д5х]

Здравствуйте, а почему n^2+n^2 это не 2n^2?

[@FrolovSergei]

Здравствуйте! Разумеется, n^2+n^2=2n^2. Но ведь Ваш вопрос как-то связан с моим роликом, верно? Тогда приведите, пожалуйста, тайм-код момента ролика, к котрому относится Ваш вопрос. Со времени публикации прошло уже немало времени, и наизусть содержание ролика я, к сожалению, не помню.

[@НиколайП-д5х]

​@@FrolovSergei Я не понимаю почему последовательность записана в таком виде, там ведь если совершить преобразования, корень уйдёт и выражение будет проще, в знаменателе окажется 2^(1/n)*n^2 и на первый взгляд, дальше предел найти окажется проще

[@FrolovSergei]

@@НиколайП-д5х Что это за преобразования такие, в результате которых корень исчезает? Никак он исчезнуть не может! Откуда Вы это выражение взяли, 2^(1/n)*n^2?