Рет қаралды 2,512
Доказать, что если p и q - простые числа, большие трёх, то p^2−q^2 делится на 24.
Решать задачу будем в 2 этапа.
На первом этапе докажем, что одно из чисел p+q и p−q делится на 4, а другое - на 2, откуда следует, что их произведение, т. е. число p^2−q^2, делится на 8. При доказательстве будем рассматривать 2 случая: p и q сравнимы по модулю 4; p и q не сравнимы по модулю 4.
На втором этапе докажем, что одно из чисел p+q и p−q делится на 3, откуда следует, что их произведение, т. е. число p^2−q^2 также делится на 3. При доказательстве будем рассматривать 2 случая: p и q сравнимы по модулю 3; p и q не сравнимы по модулю 3.
Поскольку числа 3 и 8 являются взаимно простыми, то из делимости некоторого числа на каждое из них следует делимость на их произведение, т. е. на число 24.