Как решить уравнение x^2+y^2+z^2=8t+7 в целых числах?

Решить уравнение x^2+y^2+z^2=8t+7 в целых числах.
Заметим, что из уравнения следует, что остаток от деления суммы квадратов, стоящей в левой части уравнения, от деления на 8 равен 7. Выясним, может ли выполняться это условие. Для этого ответим на вопрос: чему могут равняться остатки от деления квадратов целых чисел на 8? Зная ответ, уже несложно выяснить, чему могут равняться остатки от деления на 8 суммы квадратов трёх целых чисел, при условии, что эти суммы нечётны (нечётность суммы квадратов следует из нечётности правой части уравнения).

[@user-yq9ju4ge6q]

пошел чуть обходным путем - сначала разделил на 4 - остаток от деления квадрата на 4 - 0 или 1, в правой части остаток 3, значит в левой части стоит 3 нечётных числа, а дальше тот же п.1, что и на видео - при деление нечётного квадрата на 8 остаток 1, значит, слева будет остаток 3, справа остаток 7 - не сходится

[@FrolovSergei]

Великолепное доказательство!

[@romank.6813]

Так числа вида 8t+7 в виде трех квадратов не представимы. Именно из-за них Лагранжу и пришлось доказывать теорему про представимость любого натурального в виде 4-х квадратов. Кстати, а этот ролик было записывать не тяжело? Чисто интересуюсь в свете тяжести записи ролика от 17-го (вроде) февраля.

[@FrolovSergei]

Не знал про Лагранжа! Интересно! Мне жить тяжело, не то что ролики записывать. Но миллионам людей гораздо хуже, чем мне, так что грех жаловаться. Живём, пока живётся.

[@user-rd5mt8vh8j]

x²={1;0} mod 8 ∀xєZ => x²+y²+z²={0;1;2;3} mod 8 Но 8t+7=7 mod 8 ∅ слишком очевидная задача по идее, не знаю че там 7 минут разбирать

[@FrolovSergei]

"x²={1;0} mod 8 ∀xєZ" Это неверное утверждение. Контрпример: x=2.

[@user-rd5mt8vh8j]

@@FrolovSergei а, ну да,извините, ладно я даун, кстати там можно кажется через жирара решить, но особо вникать не стал(если все нечетные то очевидно неверно, значит Б.О.О 2|х;у тогда существует такие p;q=3 mod4 простые, что p|x;z q|y;z)

[@user-rd5mt8vh8j]

@@FrolovSergei и еще одна очевидная идея это попробовать вывести что то подобное к жирару для p=8k+7 (p-prime) и там сразу выходит, что достаточно разобрать случай, когда p|x²+y²+z² где x;y;z все не делятся на р причем так, что p|8t+7 (изначальное уравнение тоже сохраняется)(не особо люблю разборы через модули прост)

[@Pentagidrad]

1:51 никак не пойму почему 4к, а не 2к?

[@user-yq9ju4ge6q]

(2k + 1)^2 = (2k)^2 + 2 * 1 * (2k) + 1 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k + 1) + 1

[@Pentagidrad]

@@user-yq9ju4ge6q Это для нечётных в квадрате, там все понятно, для четных-то почему 4к? Которые потом ещё и в квадрат

[@stepandolgorukov8742]

Вы спрашиваете про следующие 2 случая?

[@FrolovSergei]

@Pentagidrad Смотрите: любое чётное число при делении на 4 даёт в остатке либо 0, либо 2, верно? Ведь нечётных остатков быть не может. Вот и получаем: в первом случае число представимо в виде 4k, а во втором - в виде 4k+2.

[@Pentagidrad]

@@FrolovSergei Да, и в самом деле! Я как-то зациклился на первом случае и не учел, что там еще один есть - устал после работы, видимо... Спасибо за ответ