Как найти несобственный интеграл 1-го рода от функции x/(x^3+1) на промежутке от 0 до +∞?

Найти несобственный интеграл 1-го рода от функции x/(x^3+1) на промежутке от 0 до +∞.
Несложно убедиться в том, что данный несобственный интеграл - сходящийся. В этом нам поможет признак сравнения несобственных интегралов от неотрицательных функций в предельной форме.
Находить интеграл можно по-разному.
Очевидный способ заключается в предварительном нахождении первообразной подынтегральной рациональной функции с помощью разложения её на простые дроби с последующим применением формулы Ньютона-Лейбница.
Ну а мы попробуем обойтись без разложения подынтегральной функции на простейшие дроби. В этом нам помогут замена переменной в несобственном интеграле, а также свойства несобственного интеграла.
Предыдущий видеоролик: • Как найти определённый...
Видеоролик с канала @Hmath: • Интеграл от рациональн...

[@pandemotor]

Можно разбить интеграл на два с пределами от 0 до 1, и от 1 до бесконечности, а дальше провернуть ту же схему. Способ весьма интересный, спасибо!

[@FrolovSergei]

Спасибо Вам за просмотр и за отзыв!

[@Hmath]

Тоже добавил ссылку на это ваше видео под своим :)

[@FrolovSergei]

О, спасибо!

[@romank.6813]

Можно было проще, без всяких замен. В числителе добавляем/вычитаем x^2, получаем интеграл от x/(x^2-x+1) минус log(x^3+1)/3. В первом интеграле вычитаем/добавляем 1/2, получаем log(x^2-x+1)/2 плюс интеграл от 1/2/((x-1/2)^2+3/4). Оба логарифма при x=0 обгуляются, а на бесконечности друг друга убивают. Остается арктангенс от (x-1/2)*2/√3 с каким-то там коэффициентом. Надо бы ручку с бумажкой взять, чтоб доделать, но лень.

[@FrolovSergei]

По сути, Вы представили подынтегральную функцию в виде суммы трёх дробей и нашли первообразную каждой из них в отдельности. А затем воспользовались формулой Ньютона-Лейбница. То бишь, Ваш подход никак "не завязан" на конкретных пределах интегрирования и "работает" при любых пределах. Считаете, что так проще? Хм... Ну, OK. Но мне зато пришлось находить первообразную только одной дроби, а не трёх. И я обошёлся без всяких логарифмов.

[@user-xu9di6uu9u]

Спасибо, Сергей. А если не складывать интегралы, а отнимать, то получится несобственный интеграл от (x-1)/(x^3+1), равный нулю, что изначально неочевидно.

[@FrolovSergei]

Владислав, Вам спасибо за просмотр и за комментарий. Да, это неочевидно. Но, кстати, всё та же подстановка t=1/x приводит данный интеграл к нему самому, но только со знаком "минус", откуда сразу же следует равенство исходного интеграла нулю. А ещё можно Ваш интеграл представить как сумму интегралов по промежуткам от 0 до 1 и от 1 до +∞, после чего применить к любому из них ту же самую подстановку. В результате получим разность одинаковых интегралов, т. е. всё тот же ноль.

[@user-xu9di6uu9u]

@@FrolovSergei Интересно, а Вы интегралы сам придумываете, или откуда то берете? Могу предложить Вам сделать обзор по несобственному интегралу от функции th(x/a)*sin(x), где a - параметр. Maple перед ним пасует, т.к. эта функция не имеет предела на бесконечностях. Я с ним как то столкнулся в вычислениях, пришлось считать вручную.

[@FrolovSergei]

@@user-xu9di6uu9u Владислав, я, оказывается, Ваше имя перепутал. Прошу прощения! Я уже исправил предыдущий комментарий. Обычно интегралы беру из сборников олимпиадных задач. Но эту конкретную задачу я придумал сам, оттолкнувшись от соответствующего неопределённого интеграла из ролика на канале @Hmatch. Просто взял и "превратил" неопределённый интеграл в несобственный. А какие конкретно пределы у Вашего интеграла? И я правильно, понял, что Вы сами эту задачу решили?

[@andreybyl]

Можно и дальше пойти, и потребовать вычислить данный интеграл без использования формулы Ньютона- Лейбница. Предел от предела интегральных сумм, а что, функция-то вроде не трансцендентная и есть надежда как-нибудь интегральную сумму преобразовать))) Ну это в порядке шутки

[@user-xu9di6uu9u]

@@FrolovSergei Интеграл несобственный, те пределы бесконечные. Да, справился. Здесь главное - свести его к интегралу от "хорошей" функции. что делается легко интегрированием по частям. Весь вопрос только в том, как вычислить внеинтегральную подстановку.