[UT#75] Une introduction imagée à la continuité uniforme !

Dans cette émission, je présente la délicate notion d'uniforme continuité d'une fonction de la variable réelle. Pour cela, je reviens sur la définition de la continuité, que j'illustre graphiquement en faisant intervenir mes deux amis η et ε. Les beaux dessins qui résultent de cette démarche amènent Séraphin à poser « la question qui fâche », question qui, ô surprise, nous mène tout droit à la notion d'uniforme continuité !
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🕒 Repères temporels:
0:00 - Problématique
0:23 - Notion de continuité
2:40 - Moment clé #1 - Question de Séraphin
3:55 - Notion de continuité uniforme
4:19 - Moment clé #2 - Une potentielle confusion
5:08 - Un contre-exemple fondamental
6:48 - Lien avec l'inégalité des accroissements finis
7:25 - Notion de fonction lipschitzienne
9:08 - Lien avec l'uniforme continuité
9:25 - Un autre contre-exemple
10:22 - Ouverture
🎥 Émissions connexes:
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✒️ Notions abordées: continuité d'une fonction, continuité uniforme, fonction lipschitzienne, inégalité des accroissements finis, taux d'accroissement, théorème de Heine.
🌞 Bonne écoute !
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[@MatheFysyk]

Très belle explication :) Pour ajouter une intuition supplémentaire de cette délicate notion, on peut se le représenter sur un dessin. Quand on regarde le graphe d'une fonction f uniformément continue, et qu'on fixe un epsilon > 0 et un x dans l'ensemble de définition de f, on peut regarder un petit rectangle de hauteur epsilon centré en x. Dire que f est uniformément continue, c'est exactement dire qu'il existe une épaisseur (non nulle) du rectangle (le long de l'axe Ox) telle que quand on fait glisser le rectangle le long de la courbe, cette dernière n'intersecte pas le "dessus" et le "dessous" de la boite (les côtés du rectangle parallèles à l'axe des abscisses). Pour la continuité classique, on impose pas que le rectangle soit le même en chaque point. Lorsqu'on prend le graphe de x donne 1/x, au voisinage de 0, si on prend n'importe quel rectangle centré en un certain point (x_0, 1/x_0) du graphe et qu'on fait glisser le rectangle vers la gauche (x_0 -> 0) le long de la courbe, alors on se rend compte que celle-ci va finir par traverser le dessus et le dessous de la boîte : on a donc pas uniforme continuité de x donne 1/x sur ]0, 1]. Cette illustration était donnée sur la page wikipédia de l'uniforme continuité il me semble, mais je n'ai pas réussi à la retrouver, peut-être qu'elle a été actualisée :(

[@oljenmaths]

Au top 🙏🏻! Rrraaah, je n'y ai pas pensé à cette affaire. J'étais absorbé dans mes pensées, et notamment par le cours d'analyse de Cauchy dans lequel on trouve cette confusion entre « quelque soit… il existe… » et l'inverse (au sujet de la convergence des séries de fonctions, mais c'est le même principe). J'aurais bien aimé faire voyager le bon rectangle le long de ma courbe, on en aurait pris plein la vue 🤣. Commentaire épinglé !

[@algeriansstudios9447]

Magnifique

[@joyel9413]

Toujours très intéressant. Juste une remarque sur la forme : il faudrait dire "partout" au lieu de "de partout". ("Les adversaires surgissent de partout", mais "les défenses cèdent partout").

[@oljenmaths]

C'est noté ✍🏻! Merci pour la remarque et pour les exemples; mon expression est loin d'être irréprochable mais je saisis volontiers toute occasion de l'améliorer 😁!

[@AxelChambilyCasadesus]

presque partout ;)

[@camillereve1329]

Beau travail, quel plaisir de comprendre l essence de cette définition grace aux illustrations!

[@mrgalaximox2379]

Aller hop ça part en abonnement

[@mathyyys8467]

Wow juste merci, c'est extremement clair, j'ai surtout apprécié l'espèce de double cône qu'aucune tangente à un point ne traverse !

[@oljenmaths]

Au plaisir 😁! De mon côté, je me suis gavé pour le faire voyager le long de la courbe. Une vraie satisfaction 🤣!

[@sega4you]

Je vois ça un peu comme une généralisation d'une fonction à dérivée bornée, mais pour une fonction continue qui n'est pas nécessairement dérivable.

[@AllemandInstable]

Merci bien pour les travaux chef

[@oljenmaths]

Validé par un étudiant instable fraîchement diplômé 🥳!

[@aleynayazgoren7065]

🔸🔸🔸🔸🔸

[@taotao401]

www génial ! nous en prépa en deuxième année on a l'uniforme continuité mais pour des suites de fonctions pas des fonctions.

[@giovanni1946]

Convergence uniforme plutôt, non ?

[@bwahf4685]

Merci beaucoup pour ce partage très instructif 🙏. Cela dit, je ne vois pas ce qu’apporte l’uniforme continuité comme information supplémentaire au profane que je suis concernant le comportement de la fonction. Serait-il possible de savoir à quoi ça sert exactement, SVP ? Par avance, merci pour votre précieux avis. 🤓

[@oljenmaths]

Au plaisir 😇! Il n'y a vraiment pas de mal à se demander « à quoi ça sert », et je dirais même que c'est essentiel pour rester motivé et performant ! En l'occurrence, la notion d'uniforme continuité sert lorsqu'on construit l'intégrale de Riemann. L'idée générale, c'est qu'on veut approximer l'aire sous la courbe par une somme d'aires de rectangles, mais on peut se demander ce qu'il se passe si la fonction en question a un comportement erratique. Une réponse possible à cette histoire, c'est que pour une fonction continue par morceaux sur un segment, le côté « erratique » n'est pas trop prononcé grâce au théorème de Heine, qui donne de l'uniforme continuité. Je fais la démonstration associée ici: kzbin.info/www/bejne/a4SQk62cja9sh6ssi=3itjjZXeJOiI0Dtu Cela dit, si on me demande où est-ce que j'ai rencontré la continuité uniforme dans des cas pratiques, ma réponse est simple: nulle part. En effet, c'est une « notion intermédiaire » qui peut souvent être remplacée par la continuité simple (en étant un peu moins exigeant) ou par le côté lipcshitzien (en l'étant un peu plus).

[@bwahf4685]

Super, merci pour le temps précieux consacré à cette réponse... sans parler du temps pris pour réaliser ces sensationnelles vidéos. ✨👍@@oljenmaths

[@oscarlamelo]

Salut Oljen, aurais tu une ressource ou bien prévu de faire quelque chose sur le théorème du point fixe, d'abord avec les suites, et ces images de spirales carrés qui veulent dire que la suite diverge ou je ne sais quoi, je n'ai jamais bien compris et je sais qu'avec toi ça sera immédiat, sinon merci beaucoup pour cette vidéo, comme d'habitude c'est génial et je déplore qu'à ma faculté les enseignements n'ont pas été d'aussi bonne qualité.

[@oljenmaths]

Salut ! Je n'ai rien fait à ce sujet, mais si tu parles « d'escargot » ou « d'escalier » et que tu souhaites comprendre la base du raisonnement, je peux te recommander la vidéo du père Monka, toujours au rendez-vous 👨🏻‍🏫. kzbin.info/www/bejne/gnW1qWqXiJ59qaM

[@oscarlamelo]

C'est bon, j'ai tout compris ! enfin je crois aha merci.

[@michelbernard9092]

La continuité avait été abordée en 1ere et Tale C ; bien sûr tout le monde en comprenait bien l'esprit comme vous l'expliquez sur votre vidéo, mais on était quand même paniqué avec l'écriture quantifiée de la définition. Cependant ce n'est qu'en taupe, avec l'apport de la topologie, que j'en ai compris l'essence avec les "voisinages" car ça se rapprochait bien plus du langage courant : Pour ne pas faire d'erreur, je recopie cette def de wikipédia : "La fonction f est continue au point a si et seulement si l'image réciproque de tout voisinage de f(a) est un voisinage de a".

[@user-ku5bc7wu4c]

Très belle explication et une superbe présentation. S'il vous plaît je veux faire comme tes videos en arabe pouvait me donner la recette Logciels utilisés + enregistrement d audio Et merci beaucoup.❤

[@oljenmaths]

Merci 🙏🏻! En réalité, c'est de l'artisanat pur et simple, et chaque minute de vidéo produite me demande une heure de travail en moyenne. J'utilise donc toute une panoplie de logiciels: GoodNotes pour la composition graphique, puis Photoshop, Audition et Premiere pour toute la suite, du découpage des vignettes au montage en passant par l'enregistrement du son.

[@michelbernard9092]

Lipschitz polychrome

[@aliacorellou4931]

Bonjour, Pourquoi 2 epsilon ???

[@oljenmaths]

Salutations ! Dire que |a-b| est plus petit que ε, c'est dire que b est dans l'intervalle [a-ε , a+ε], donc que b se situe dans un intervalle centré en a et de longueur 2ε 😉.

[@Measure_differentiable]

Notion qui est conpletement fausse si on veut par exemple etudier la cte unif de arsin((x-1)/(x+1)).

[@oljenmaths]

Un exemple d'une fonction non uniformément continue, je suppose ?