Почти никто... ➜ Найдите площади треугольников на рисунке

Две стороны треугольника равны 14 и 35. Биссектриса угла между этими сторонами, равная 12, делит треугольник на два треугольника. Найдите их площади.
Интересная геометрия!
1) Найдите площадь треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам: • Найдите площадь без тр...
2) Стороны треугольника - целые числа. Найдите сторону треугольника, если две другие его стороны равны 1 и 5: • Найдите сторону треуго...
3) Какой угол образует часовая и минутная стрелки в 5 часов 12 минут? • Какой угол образует ча...
4) Найдите сумму углов в вершинах пятиугольной звезды • Найдите сумму углов в ...
5) Геометрическая СУПЕР ЖЕСТЬ за 4 минуты ➜ Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взята точка M такая, что угол MBC=20°, угол MBA=30° и угол MAB=40°. Найдите угол BMC. • Почти никто не решил ➜...
Предыдущее видео: • Решите систему уравнен...
Valery Volkov / valeryvolkov
‪@arinablog‬ наш семейный канал
/ @arinablog

[@ValeryVolkov]

Интересная геометрия! 1) Геометрическая СУПЕР ЖЕСТЬ ➜ Найдите угол: kzbin.info/www/bejne/aYO6qpJppad9m6s 2) Стороны треугольника - целые числа. Найдите сторону треугольника, если две другие его стороны равны 1 и 5: kzbin.info/www/bejne/q2XXoIeQn7tpec0 3) Какой угол образует часовая и минутная стрелки в 5 часов 12 минут? kzbin.info/www/bejne/sGbFk3utp66bd7s 4) Найдите сумму углов в вершинах пятиугольной звезды kzbin.info/www/bejne/i3vboI2bZseGb80 5) Найдите площадь треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам: kzbin.info/www/bejne/eHLWcmeIh7GsqZI

[@1luffiz]

спасибо!

[@user-bb6mr8uw1e]

Честно скажу, посмотрела только ответ без решения, решала через синус угла. 1\2*14*12*sinx+1\2*12*35*sinx=1\2*14*35*sin2x и получила тоже что и вы

[@user-pr5ht2ty3o]

Решил, используя формулу площади треугольника, равной половине произведения сторон на синус угла между ними. Получилось проще. Но я Вам благодарен за отличное от моего решение задачи! 👍

[@user-xt6es7er5w]

Вполне можно решить через формулу биссектрисы, AD^2=AB*AC-BD*DC, тк BD/DC=14/35, выразив 1 переменную, поставим в 1 уравнение, решим, найдём BC, потом по формуле герона

[@ruslan_]

да. интересно, можно ли на егэ(огэ) пользоваться формулой биссектрисы/медианы в готовом виде, без вывода и получить при этом макс. балл за задачу?

[@user-xt6es7er5w]

@@ruslan_ мой учитель никогда не был против при проверки пробника, когда там я писал формулу биссектрисы. Вероятно можно писать и так.

[@AlexeyEvpalov]

Красивая геометрия. Спасибо за подробное решение сложной задачи.

[@RafOruzman]

S1=14*12*sina/2, S2=12*35*sina/2. S1+S2=S=14*35*sin2a/2. (84+210)sina=14*35*2sinacosa. ( sin2a=2sina*cosa). Отсюда cosa=3/5. Sina= подкорнем(1-cos^2*a) и sina=4/5. Поставим в S1и S2 получим67.2и 168.

[@user-le9nx3rx5t]

Хоть сразу вспомнил теорему об отношении площадей двух треугольников с равными углами! Хорошая геом. задача с доп. построением! Спасибо.

[@user-ld5cf5bh4t]

Красота .Отличная задача Обожаю Геометрию

[@TheTinkywinky3]

Здравствуйте Валерий. Обычно вы объясняете все так медленно, как только можете. Но в этом видео я не смог уследить за Вашей скоростью.

[@liftovik]

Хорошая геометрическая задача. Дополнительные построения интересные.

[@mathmix1057]

Отличная задача для 8 класса. 👍👍👍

[@user-un1dw8pu2x]

Да, задача хорошая. Но решение сложновато. По моему попроще было бы выразить площади маленьких треугольник как половина произведения сторон на синус альфа, а большого треуг как половина произведения сторон на синус двойного угла. Далее составить уравнение: сумма 2х малых площадей равна площади большого треугольника. И найти угол. Затем, вычислить площади малых треугольников. А так вообще интересные задачи тут разбираются. Кстати на Вашем канале тоже интересные

[@anagayoza]

@@user-un1dw8pu2x это не 8 класс уже

[@vitaliyruban2538]

Если решать через синус, то не так интересно хотя и проще. Но решение Валерия - красота.

[@larisakrizhevsky3902]

Здорово Прямо геометрическая пятиминутка😃

[@shankojulia]

Я бы площади считала по формуле Герона, без нахождения высоты.

[@1luffiz]

отличное решение! все упростили, чтобы не считать через 1/2absin(alpha). класс!

[@user-my5ww8kl6y]

А я решил с помощью другого построения!!! На стороне АС отложил точку Е такую, чтобы отрезок АЕ равнялся стороне АВ = 14. Получил два равнобедренных АВЕ и ADE в которых BD как биссектриса является и высотой и медианой... Ну а дальше дело техники находим соотношения площадей оставшихся треугольников. Никакого Герона и теоремы синусов. Только формулы площадей и Теорема Пифагора

[@vydenis1]

точнее равнобедренные АВЕ и DBE и биссектриса AD...

[@user-vs7it4bc6k]

Не умею решать с доппостроениями, но очень хочется, спасибо за такое обучение!

[@user-lu2fi9ku6z]

Я решил намного проще: расписать эти 2 площади через формулу с синусом, написать площадь большого треугольника через синус тоже(синус 2ого угла) и приравнять сумму площадей маленьких к большому. Получим 2 ответа: синус равен нулю, а такое невозможно и косинус равен 0,6. Дальше все просто. Подставляем в формулу и готово.

[@user-yf5hd6wc1y]

Я решил аналогично.

[@Xandr.900]

Из готовой формулы для нахождения биссектрисы по боковым сторонам и углу между ними la=2ab•cos(a/2)/(a+b) находим cos(a/2). Он равен 0.6. Соответственно sin^2(a/2)=1-cos^2(a/2). Имея синус угла, спокойно находим площади треугольников. Ответ тот же.

[@teya6252]

да, я также решала, и, как мне показалось, этот способ значительно проще

[@user-fm3no5gm9t]

А откуда известен косинус угла?

[@vitaliyruban2538]

@@user-fm3no5gm9t С уравнения: 1/2*14*12sinx+1/*12*35sinx=1/2*14*35*2sinx*cosx

[@user-gl4nj9lw1n]

1.Для начала в общем виде найдём формулу биссектрисы через бок.стороны и косинус угла, делющего биссектрисой пополам, до устим х. Выражаем площадь всего треугольника через синус угла и бок. стороны, а также через сумму площадей двух треугольников, получаем l= cosx*ab/(a+b), где а и b бок.стороны.2)Так как биссектриса известна находим cosx = 0.6, по основному тригонометрическому тождеству находим sinx = 0.8. 3) находим площадь каждого через синус и бок.стороны

[@vitalylischuk6580]

Використаємо формулу S=0,5ab sin( sina = 4/5. S1=0,5*14*12*sina=67,2. S2=0,5*12*35*sina=168.

[@goose_emperor]

Добрый день, Валерий. Самостоятельно составил следующую задачу, которая имеет решение. Если решите - буду премного благодарен. Дан треугольник ABN, в котором проведена биссектриса AK, также являющаяся диаметром окружности. BN - касательная, ВМ - высота, проведенная к стороне AN. Точка L - точка пересечения AK и BM. Найдите площадь произвольного четырехугольника LKNM, если MN=sqrt(3), сторона АВ=3.

[@user-ug5zj2tc1u]

Интересная...

[@goose_emperor]

@@user-ug5zj2tc1u я сам когда составил, час не мог решить. Но получилось.)))

[@Cygni7]

А к чему тут сказано про диаметр окружности? Поясните, пожалуйста, фразу : ...АК, также являющаяся диаметром окружности .

[@goose_emperor]

@@Cygni7 это нужно для доказательства равнобедренного треугольника, так как угол AKN равен 90° (радиус, проведённый в точку касания)

[@Cygni7]

@@goose_emperor тогда надо уточнить, что BN - касательная, т.к. она по данному условию может быть секущей (пересмотрите условие).

[@leonidsamoylov2485]

Самый рабоче-крестьянский способ решения (арифметика конечно будет не из приятных) - это половину угла, из которого проведена биссектриса, обозначить через А. Тогда отрезки, на которые делит сторону биссектриса, можно выразить по теореме косинусов, и приравнять частное от их значений/формул к отношению боковых сторон. Косинус А нашли. Отсюда синус угла А, ну и отсюда площать как половина произведения сторон на синус угла между ними. Время на арифметику соизмеримо со временем поиска решения, которое предложил автор. Поэтому - "почти никто" ..... не стал решать с "тяжеловесной" арифметикой. Я начал, взял калькулятор, и стало скучно )) Спасибо автору за способ, при котором эта арифметика проще. ))

[@romank.6813]

А я именно этим рабоче-крестьянским методом решил. Получил косинус угла 3/5, отсюда синус 4/5. Не надо хвататься за куркулятор раньше времени!)))

[@leonidsamoylov2485]

@@romank.6813 наверно согласен )

[@rhodos135]

А как же очень хорошая формула? S треугольнике = 1/2*a*b*siny (площадь равна полупроизведению двух сторон треугольника на синус угла между ними) получается, пишем 2 уравнения площади и решаем простую систему уравнений) Отличная задача

[@stvcia]

Валерий предпочитает решать геометрические задачи с помощью дополнительных построений, без привлечения тригонометрии. И это наверное правильно, так как требует пространственного воображения, а не просто тупых вычислений по формулам.

[@karkova_zhutya]

На мой взгляд, можно было решить и без дополнительного построения. Поскольку угол ABD = углу DAC, то равны и их косинусы. BD/DC = 2/5 по свойству биссектрисы треугольника. Пусть BD = 2x, DC = 5x. По теореме косинусов можно сказать, что: 4x² = 196+144 - 2*14*12*cosBAC; 25x² = 1225+144 - 2*35*12*cosDAC. Из каждого выражения выражаем косинусы. Поскольку они равны, то правые части можно приравнять. Находим х, подставив его находим косинус. Далее по основному тригонометрическому тождеству находим синус угла, и находим площадь каждого треугольника через 2 стороны и синус угла между ними. Ответ получается такой же. Но решение, представленное в видео тоже интересное

[@sergeylopanov1829]

Можно через полупериметр (используя теорему косинусов), но долго. Через синус чуть быстрее, по построениям, как у Волкова ещё быстрее. Решение через синус. Опустим из точки Д высоту на сторону АС и из точки В высоту на сторону АС. Используя свойство биссектрисы отношение площадей будет S1\S2=14/35, (S-S2)/S2=14\35, где S=S1+S2, S=35*14Sin(2x)\2, S2=35*12Sin(x)\2, (S-S2)/S2=[35*14Sin(2x)\2-35*12Sin(x)\2]/[35*12Sin(x)\2], [7Sin(2x)\6Sin(x)]-1=14\35, 7Sin(2x)=6(1+14\35)Sin(x),7*2Sin(x)Cos(x)=6(1+14\35)Sin(x), Cos(x)=3\5, Sin(x)=4\5, S2=35*12Sin(x)\2=35*12*4\5*2=168, S(1)=168*14\35, S(1)=336\5

[@tim_196]

Решил быстрее Волкова. Вот это поворот!!!

[@user-sj2zl7pp8n]

S1=12*7*sin q=2*6*7sin q S2=35*6*sin q= 5*6*7 sin q S1=S2*2/5 S1+S2=5*6*7(1+2/5) sin q=6*7*7 sin q S=35*7sin 2q=70*7*sin q *cos q=6*7*7 sin q Сокращаем на 2*7*7 sin q 5cos q=3 => cos q = 3/5. sin q =✓(1-9/25) = 4/5 S2 = 5*6*7*4/5=168 S1=168*2/5=67,2

[@user-oj3su5hj7i]

Спасибо ! Задача---- супер !!!

[@user-gx2fg2ll1j]

12⋅sin(a)⋅(1/2)⋅(14+35) = (1/2)⋅sin(2a)⋅14⋅35 12⋅49⋅sin(a) = 14⋅35⋅2⋅sin(a)⋅cos(a) cos(a) = 21/35 sin(a) = √(1 - (21/35)²) = √(64/100) = 4/5 S1 = ((4⋅12)/(2⋅5))⋅14 = 4,8⋅14 = 67,2 S2 = 4,8⋅35 = 168. Чисто алгебраическое решение "в лоб". А доп. построения, как и геометрия вообще, мне не очень всегда давались. Как недавно прочёл в комментарии "Геометрия сложней алгебры, тут думать надо" ...

[@user-el7zs3ws3m]

Я тоже так решила. Единственно: 21/35=3/5, тогда для устного счета sin( a)=4/5. Мне кажется, именно эта задача легче так решается.

[@user-gx2fg2ll1j]

@@user-el7zs3ws3m Да с 21/35 я конечно дал маху.

[@s1ng23m4n]

Ну тут без карандаша и бумаги не обойтись)) Я решил в лоб через тригонометрию (но с каждым роликом все больше начинаю пользоваться свойствами геометрических фигур, которые мне преподавали в школе, но все пролетало мимо ушей).

[@user-ug5zj2tc1u]

Тоже сначала через тригонометрию решил, но тут с ДЕ надо догадаться, конечно

[@user-do9mh4mh6z]

Решила))) правда через косинус =0,6 и полупериметр.

[@kirilldrinevskiy8283]

Через свойство биссектрис и 2 теоремы косинусов можно решить

[@xrilicc1154]

Составить систему из двух уравнений и там дальше герон

[@user-eu9wp3cg4m]

Ох и трудная задача! Унесло аж к формуле Герона, с получением ужасного уравнения 4 степени! А потом сообразил определить площади треугольников через полупроизведение сторон на угол между ними для всех 3 треугольников.

[@holidiana5549]

No sé cómo llegué acá...

[@topetytopety4621]

5

[@jeandetalois7832]

Не необходимо вводить другие точки (Е и H). 1) S(АDС)=(1/2).35.(12.sin(CAD))=210.sin(CAD) 2) S(АDB)=(1/2).14.(12.sin(DAB))=84.sin(DAB) 3) S(ABC)=(1/2).35.(14.sin(BAC)) Используем (BAC) = 2 (CAD) = 2 (DAB) = 2a и sin(2a)=2.sin(a). cos(a). S(ABC)=S(ADC)+S(ADB) даёт cos(a)=(210+84)/(35.14)=3/5 и sin(a)=4/5, откуда следует S(АDС)=210.4/5=168 и S(ADB)=84.4/5=67,2.

[@user-ok5pi3dg7y]

запутался )

[@user-bt9kj4jk9q]

Можно было не проводить высоту, а воспользоваться формулой Герона, длины сторон же известны

[@user-we9bb3sp6p]

Интересная задача, я с начала даже не сообразил как к ней подступиться. *Зато на ее основе сформулировал новую задачу!* _Построить треугольник по заданным параметрам_ 🤔🧐

[@user-we9bb3sp6p]

Прочитал комментарии и загрустил _Как много, я подзабыл... :--(_

[@abrakadabrov6919]

Через биссектрису быстрее

[@andreisergeyev273]

Безотносительно этой довольно простой задачки, господин Волков, Ваша постоянная реклама "Почти никто не решил" очень сомнительна. Значит плохо преподаете? Лучше рекламируете свой курс так "Мой ученики легко решают такие задачки!"

[@user-or6pu7ub3b]

Я сначала нашел косинус угла, затем и синус, а там дальше только оставалось вычислить, ответ был тот же.

[@user-um1sb8vt1n]

Вау

[@user-vn9db5fc5o]

Можно и намного более в лоб. Обозначим для удобства угол bad=a и adb=b. Применим 2 раза теорему косинусов: (1*) Bd^2 = ab^2+ad^2-2ab*ad*cos(a)= 14^2+12^2-2*14*12cos(a) = 340 - 336 cos(a) (2*) Dc^2=35^2+12^2-2*35*12cos(a) =1369-840cos(a) И 2 раза теорему синусов: (3*)Bd/sin(a)=ba/sin(b) (4*)Dc/sin(a)=ac/sin(b) Решаем систему с 4 уравнений и 4 неизвестных: Поделим последние (3*) на (4*): (5*)Bd=ab/ac*dc=14/35*dc Из (1*) и (2*) выразим cos(a) и приравняем: (6*)(340-Bd^2)/336 = cos(a) = (1369-dc^2)/840 Подставим (5*) в (6*) (7*)(340-(14/35*dc) ^2)/336 = (1369-dc^2)/840 Решаем линейное уравнение, находим dc, подставляем в (5*) находим db. Bc=bd+dc. После нахождения вс скармливаем формуле площади по 3 сторонам. В качестве альтернативного решения, можно (5*) возвести в квадрат и подставить в него (1*) и (2*). Тогда вместо нахождения вс, мы найдем cos(a), с него выразим sin(a) = √(1-cos(a)) и посчитаем площадь ∆ADB через 1/2*ad*ab*sin(a) и аналогично ∆ADC.

[@user-vn9db5fc5o]

Еще более элегантное решение: S=ab*ad*sin(a)/2+ac*ad*sin(a)/2=ab*ac*sin(2a)/2= (по формуле синуса двойного угла) = ab*ac*sin(a)cos(a) Отсюда сразу cos(a)=ad*(ab+ac)/(2ab*ac) = 0.6 sin(a) = √(1-0.6^2) =0.8 Ну а дальше 14*12*0.8/2 =67.2 и 35*12*0.8/2=168

[@vladimirnizhevyasov8991]

Дмитрий Зиненко В каком классе изучают тригонометрию? Для какого класса эта задача?

[@user-vn9db5fc5o]

@@vladimirnizhevyasov8991 понятия не имею. Я не говорю, что решение автора плохое, а только то, что существует другое решение, которое некоторым (например мне) может показаться лучше, ибо оно хоть и задействует более мощные механизмы, но является последовательным и без угадываний куда бы что достроить. Ну а решение автора менее последовательное, но более красивое.

[@user-yt4wg1id6p]

Мен арасындағы бұрыштың синусы бойынша шығардым.

[@user-gx2fg2ll1j]

Используем формулу S = a⋅b⋅sin(γ). Затем sin(2γ) = 2sin(γ)cos(γ). Накатал полное решение - видно только с моего аккаунта. Как же ютуб меня "любит" ...

[@dimondsafkage4620]

Кажется, я понял, как ты решил, просто я использовал тот же метод с синусом двойного угла)))

[@user-gx2fg2ll1j]

@@dimondsafkage4620 Приравнял сумму площадей по формуле (1) общей площади по той же формуле (но угол то уже двойной). Затем разложил синус двойного угла по формуле (2). Синусы сократились, остался косинус. Вычислил косинус. Затем через него синус (осн. триг. тождество). Затем опять же по ф. (1) уже площади посчитал.

[@user-gx2fg2ll1j]

@@dimondsafkage4620 Кстати, мой комментарий с решением уже "отдуплился", может Валерий из спама достал.

[@ravshansarvarov5323]

Я вычесил синус угла BAD, . Потом по известной формуле вычесил площади

[@papavova8617]

Как всегда много воды и растянутое решение.

[@pasahuseyn9914]

cosx•sinx•14•35=(14•12+12•35)•sinx/2=> cosx=6•49/14•35=3/5=>sinx=4/5=>S(1)=84•sinx=84•4/5=67,2;S(2)=6•35•sinx=210•4/5=168; S=S(1)+S(2)=235,2 Pocemu tak dolqo i dlinno esli mojno korotko prosto i yasno Uvajaemiy V•Volkov pocemu to lyubit resat zadaci ne prostim i korotkim putyom,a delaya kruq vokruq qolovi ctobi pokazat uxo

[@user-hj3tk9fm4n]

Ну, чтобы было "просто и ясно", стоило указать, какой угол вы обозначили буквой х. Иначе требуется некоторое время, чтобы понять, что в левой части вашего первого равенства записана всего лишь формула площади большого треугольника. А так да, ваш способ решения отличный.

[@pasahuseyn9914]

@@user-hj3tk9fm4n Spasibo vam za koment i replika pravilnaya No delo v tom cto v zadace versini treuqolnika ne oboznaceni iz za etovo ctobi resenie bilo korotkim napisano tak nadeyas cto smotryat matematiki sami doqadayutsa U menya privicka resenie pisu pryamo v telefon osobenno toqda koqda bivaet tam replika pocti nikto ne resil prinimaya etu repliku cto naverno imeetsa v vidu cto ustno ne resil nikto

[@itech0158]

я в уме всё решил

[@andreisergeyev273]

Задачка чисто счетная и имеет множество решений: через тригонометрию (теорему косинусов), формулу для биссектрисы и формулы Герона и т.д. Решение автора оказалось самым простым, потому что длины так подобраны. Принципиальная задачка: построить треугольник (циркуль и линейка) по двум сторонам и биссектрисе между ними.

[@user-gx2fg2ll1j]

Ваша задача имеет множество разных решений, т.е. не корректно заданна. Может существовать сколько угодно треугольников с данными размерами двух сторон с данной линией в качестве биссектрисы.

[@user-ug5zj2tc1u]

@@user-gx2fg2ll1j Вы уверены? Помоему, единственный только может существовать

[@user-gx2fg2ll1j]

@@user-ug5zj2tc1u Ну как, вот я себе представляю данную линию - это заданная биссектриса. Подставляю к ней две стороны заданных длин. Замыкаю треугольник. Но стороны то я "раздвинуть могу" на любой угол 2a и между каждой и биссектрисой a соответственно. Что я не так понял в условии?

[@user-ug5zj2tc1u]

@@user-gx2fg2ll1j если раздвините стороны, то при замыкании треугольника, третья сторона пересечëт готовый отрезок биссектрисы, а она должна ровно через конец этого отрезка проходить

[@user-gx2fg2ll1j]

@@user-ug5zj2tc1u А, т.е. биссектриса дана как отрезок определённой длины. Действительно есть разница в определениях биссектрисы угла и биссектрисы треугольника (в вики). Я воспринял биссектрису, просто как биссектрису, т.е. луч, а не отрезок.

[@user-jr6qn6xg5d]

Я не понял, откуда появился 25

[@user-uz5yk6nx4z]

Ну как это почти никто. Простейшие 3 тригонометрических уравнений. Это по сути прямое применение формулы площади треугольника. Ну и простейшее тригонометрич. ур-ние. Я и не буду смотреть Вашу версию решения. Значит очень плохо учим.

[@user-uh5bw2hf9v]

Первый