✓ Спидран: Красивая олимпиадная планиметрия за 5 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин

Дан треугольник ABC, на сторонах AB и BC вне этого треугольника построены правильные треугольники ABN и BCM. Точки Q, P, E - середины отрезков AB, BC и MN соответственно. Найти площадь треугольника EQP, если AC = 8.
Осторожно, спойлер! Если вы хотели, но ещё не успели посмотреть одиннадцатое занятие курса trushinbv.ru/olymp по подготовке к Перечневым олимпиадам по математике, не смотрите это видео!
В этом учебном году я веду три курса:
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 0 до 70 баллов (10-11 класс)»: trushinbv.ru/ege70
Подойдёт и десятиклассникам, которые хотят уже за год до ЕГЭ стабильно решать на 70+, и одиннадцатиклассникам, которые почти ничего не знают, но хотят за год выйти на приличные баллы. На курсе освоим как всю тестовую часть, так и многие задачи из сложной части ЕГЭ.
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 60 до 100 баллов (11 класс)»: trushinbv.ru/ege100
Для тех, кто уже знает математику на базовом уровне, и хочет за год освоить её на 90+. Там, в основном, будем учиться решать задания из сложной части ЕГЭ, но залезем немного и в некоторые содержательные задания из тестовой части.
(Если у одиннадцатиклассника есть достаточная мотивация, можно параллельно учиться сразу на двух этих курсах - trushinbv.ru/egepack - их программы согласованы между собой)
✔ «Подготовка к перечневым олимпиадам по математике (10-11 класс)»: trushinbv.ru/olymp
В первую очередь этот курс для одиннадцатиклассников, которые освоили стандартную школьную программу хотя бы на «четыре», и хотят за полгода подготовиться к олимпиадам типа Физтех, Ломоносов, ОММО и ПВГ, чтобы попробовать зацепиться за диплом хотя бы в одной из них.
Кроме того, доступны мои прошлогодние курсы в записи:
✔ «Подготовка к ОГЭ»: trushinbv.ru/oge9
Это запись большого годового курса, который я провел пару лет назад. В этом году у меня не будет новых курсов для 9 класса.
✔ Мини-курсы по отдельным заданиям ЕГЭ:
- Теория вероятности с нуля и до ЕГЭ (Задания 3 и 4): trushinbv.ru/egeTV
- Уравнения и неравенства (Задания 12 и 14): trushinbv.ru/egeAL
- Стереометрия (Задание 13): trushinbv.ru/egeST
- Экономические задачи (Задание 15): trushinbv.ru/egeEC
- Планиметрия (Задание 16): trushinbv.ru/egePL
- Задачи с параметром (Задание 17): trushinbv.ru/egePR
- Теория чисел (Задание 18): trushinbv.ru/egeTC
✔ Мини-курсы по перечневым олимпиадам:
- Олимпиада Физтех: trushinbv.ru/fizteh
- Олимпиада ОММО: trushinbv.ru/ommo
- Олимпиада Ломоносов и ПВГ: trushinbv.ru/lomonosov
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/courses
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Магазин мерча: trushinbv.ru/shop
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
Как поддержать канал:
Регулярная помощь (Boosty): boosty.to/trushinbv
Регулярная помощь (KZbin): / @trushinbv
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Разовая помощь (Ю-money, бывшие Яндекс.Деньги): yoomoney.ru/to/410011017613074
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/boristrushin
Разовая помощь (Donation Alerts): www.donationalerts.com/r/bori...
Личный сайт: TrushinBV.ru
вКонтакте: ege_trushin
Facebook: / trushinbv
TikTok: / trushinbv
Twitter: / trushinbv
Instagram: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
KZbin: / trushinbv

[@user-pc3kj1jc3w]

"Ну я просто захотел, чтобы это было средней линий какого-то треугольника" - красиво сказано

[@vbvbnnhgjkkdfgfghh5136]

Чаще всего именно так и начинаются (происходят) размышления при решении математических задач (да и большинства задач из других интеллектуальных сфер деятельности). А уже апосля, ретроспективно можно выстроить (и выстраивается) красивое теоретическое объяснение, как это мы додумались до всего этого по каким-то логическим шагам. Тогда стороннему челу кажется всё это магией и недостижимой для себя вершиной. Борис просто сказал правду - и это правильно, и это хорошо.

[@user-uv8gc2gq3k]

"А как я должен был это решить? Как до этого можно додуматься?" - это цитата, которую говорили 90% людей, вышедших с олимпиады, притом предмет олимпиады не важен вообще

[@88coolv]

есть подсказка в самой задаче - ответ зависит только от длины основания АС, а значит В мы можем выбрать произвольным образом - в частности так, чтобы АВС был правильным, тогда Е = В и QPE тоже должен быть правильным, вне зависимости от выбора В. Осталось только этот факт доказать :)

[@mamakovt]

@@88coolv Думал аналогично, только я сделал треугольник не правильным, а вырожденным с угломВ = 180град. Ну, а дальше примитивно. Чтобы быть совсем чётким, можно показать производной, что площадь не меняется при уменьшении углаВ

[@chobitok]

Дело было в середине 80-х. Районная олимпиада. Сдаю работу и спрашиваю учительницу: -- Скажите, я верно решал вот эту задачу? Она смотрит на решение и отвечает: -- Ты доказал необходимое, но не доказал достаточное. -- А как я мог доказать, если "необходимое и достаточное" мы не проходили? -- Ну вам же должны были рассказывать на факультативе по математике! -- Вот интересно, я думал на олимпиаде требуются умения решать сложные задачи на основе школьной программы, а оказалось, что нужен не ум, а знания за пределами программы...

[@axandr19s12]

Есть еще другая ситуация: ты знаешь, каков будет ответ на вопрос/задачу, а вот как его получить....

[@user-xc1uw8gp4i]

(с) Перельман. Гипотеза Пуанкаре 😅

[@WhereisMyi]

Красиво и просто, когда умеешь думать

[@swag4297]

когда подумал про введение угла альфа и тебе говорят: ну, если по-тупому решать😂😭

[@jockey9911]

Борис, ну ты молодчага! Мне 50+. Смотрю твои видео уже просто так, мозг почесать.

[@leonidsamoylov2485]

99% задач повышенной сложности решаются построением правильного треугольника. Только надо догадаться где его строить ))

[@chedakin]

не, там еще дофига вариантов описать окружность вокруг четырехугольника )) и опереть какие-нибудь углы на равные дуги ))))

[@Noobish_Monk]

@@chedakin А как же описать окружность около треугольника, продлить до пересечения, считать углы, ничего не получить

[@SCHCOMM]

ключ к решению - захотеть, чтобы что-то было чем-то)

[@moo-ke1mb]

Ну далеко не 99

[@user-te7vz4zx1r]

БВ, вы прямо таки показали класс. А еще говорите, что не очень в элементарной геометрии. Жду от вас больше роликов по планиметрии. Например, про использовании поворота в задачах и других движений или про преобразования плоскости. А то уже весь плэйлист по планиметрии до дыр засмотрел.

[@user-yu2cc7oz8q]

Красивое решение!!!

[@user-gf6uj3vm8o]

Уважуха Борис!

[@SykrinEgor]

Через поворот векторочков очевидно, что это правильный треугольник и задача решена. Но за доп построение респект.

[@user-vy8us3pf5c]

Браво, Мастер! Необыкновенное наслаждение наблюдать за столь виртуозной игрой разума. Я тоже из категории Ваших подписчиков "50+", и всю жизнь считал себя человеком неглупым, и неплохо образованным. Но вот такие взлёты и озарения мне, увы, недоступны. Блестяще! Спасибо.

[@kadrfox]

Красотища!

[@Bidoifdofifer]

Я хочу так же! 💥

[@user-xe4qe7ib5c]

Чётко!

[@eugenest6079]

Лайк, если вы давно кончили школу и институт, а здесь просто ради удовольствия)

[@karelalex]

Получить ответ легко, раз ничего не известно про исходный треугольник, то можно рассмотреть удобный вариант, что он равносторонний. А вот показать, что в общем случае то же самое - это уже сложнее.

[@armengur2087]

Вот пример настоящего обучения математике!!!

[@Overmark024]

Увидеть что сторона равна 4 сразу, зная что Q P средние точки. А вот потом доказать что треугольник EQP равносторонний, это задача на теорему Наполеона.

[@LexGorod]

по-моему это неочевидно, даже зная направление

[@NoahUbf]

Я розвʼязував складнішим шляхом: шукав висоту з E на AC як півсуму висот з N i M. Рахував через синуси кутів A і A+60, B i B+60. Але теж дуже швидко знайшов, хоч і довше ))

[@Alpac999]

Круто!

[@victorgerasimov1673]

Молодец!

[@isalazar_]

Есть еще один способ понять правильность PQE, через векторную формулу длины средней линии четырехугольника + два поворота, для проверки равенства углов между векторами

[@Flower-ex5ye]

Спасибо

[@stresenik]

Красивая задача! Очень олимпиадная. Нужно догадаться, что искомый ∆ равносторонний, а потом доказывать как теорему - размотать клубок обратно - от ответа к условию.

[@MrVladdian]

Повернём треугольник QBP вокруг точки Q на 60 градусов. BQ перейдет в TQ (T - середина BN), BP - в TE, а значит QP - в QE. То есть QP=QE и образуют угол 60 градусов, а треугольник QPE - правильный. Уложился в 2 минуты. ;-)

[@user-go6xj8gy5n]

вооружен - и очень опасен! )

[@user-co5zo5cv6w]

Можно взять середины NB и MB, и провести 4 средних линии. Будут равные углы из параллельности и равные стороны по половине из равносторонних треугольников. Будет 3 равных треугольника, и соответственно треугольник EPQ равносторонний.

[@LexGorod]

я не тупой, но таки не понял, какие именно средние линии вы провели и о каких углах и сторонах речь

[@user-co5zo5cv6w]

1. D и F - середины NB и MB. 2. Среднии линии, DE,DQ,EF,FP. 3. из (2) => DE || BF, EF || DB, DEFB - параллелограмм. 4. из (2) => DBQ и FBP - равностороннние. 5. Пусть угол ABC = t. Из (4), угол DBF = 360 - 60 - 60 - t = 240 - t. 6. Из (3) угол DEB = углу EFB = 180 - угол DBF = 180 - (240 - t) = t - 60; 7. => QDE = EFP = QBP => QE = EP =PQ

[@user-tp9nx8hw3h]

добрый вечер, Борис Викторович после 25 задачи из огэ по математике можно ли переходить на ваш олимпиадный курс там ботать олимпиадную геометрию?

[@trushinbv]

Можно )

[@lithium65]

Ну интересно вот бывают ли ситуации когда есть только 1 сторона и возможно ли что посчитать если треугольник не равностороний

[@user-gr7yv2ck6p]

Сначала начал решать и вижу что условие бредовое, а у вас в видео в условии ошибка, я думаю чего она не решается, правильно условие дальше появляется ну и в описании к видео

[@kolegg]

Как бы думал физик. Решаем для двух вырожденных "треугольников" , когда ABC лежат на одной линии и когда A совпадает с B. Ну и до кучи еще для случая правильного ABC. там тривиальные решения Интерполируем на все остальные случаи!

[@Alexander--]

Я решил топорно, через координаты, и у меня всё срослось. 1) Пусть координаты точек такие A(0; 0), B(u: v), C(b; 0) 2) Вектор QN перпендикулярен вектору AE и имеет модуль, равный (√3/2)|AB| отсюда находим координаты точки N ((1/2)(u - v√3); (1/2)(y + u√3)). Из аналогичных соображений ищем координаты точки M((1/2)(u + b + v√3); (1/2)(v + b√3 - u√3)) 3) Ищем координаты точки E по формуле координат середины отрезка. Нам нужна ордината точки E. Она равна v/2 + b√3/4. 4) Высота треугольника EQP равна разности ординаты точки E и ординаты любой точки отрезка QP, т.е. эта высота равна просто b√3/4. Нам дано, что b = 8. Отсюда h = 2√3. 5) Отсюда искомая площадь равна (1/2)*4*2√3 = 4√3

[@z4777]

Почему же топорно? Наоборот, красиво, логично, быстро и без лишней геометрии👍😎

[@Alexander--]

@@z4777 Ну просто векторно-координатный метод может разрулить любую задачу. Поэтому и топорно)

[@z4777]

@@Alexander-- топор в руках профессионала весьма неплох: кто каким инструментом умеет, тем и работает 😎 Но вектора тоже вещь не абсолютно универсальная: наверняка с ними иногда можно забуриться в жёсткие системы уравнений при намного более простых и очевидных альтернативах.

[@irinaprokofieva2813]

👏👏👏👏👏

[@user-rm8ru1bf7s]

Хммм. А я решил таким путём: в условии не говорится о том, какой это треугольник, значит подходит для любого. Тогда возьмём равносторонний, чтобы середина нового отрезка совпала с вершиной исходного треугольника. Всё.

[@natty55555]

У меня есть 2 очень красивые и практические планиметрические задачи ( 1 Переворот ковра 2 Центрирование теодолита - обе очень просто формулируются). До сих пор нигде не смог найти решение. Не могли бы вы помочь?

[@Rolandnah]

думаю до идеи можно было догадаться, что тебя просят найти площадь треугольника, дав на всю задачу только одно число. это вроде как возможно только в правильном треугольнике

[@Peredatochajafunctio]

Самое тупое решение - принять начальный треугольник равносторонним, тогда сразу понятно, что в задаче тоже равносторонний.

[@user-jk9kn2bl2t]

На самом деле данная задача очень хорошо решается с помощью метода комплексных координат, потому что поворот на 60° просто равносилен умножению вектора на комплексный кубический корень из единицы

[@LexGorod]

Я получил ответ иначе. но используя читерство))) решил посмотреть, что будет в предельных случаях: 1) если угол ABC -> 0; 2) если угол ABC -> 180 (и в обоих случаях AB=BC) и если в первом случае я так и не смог ничего вразумительного построить (отрезок NM и точка E на нём стремятся к QP, но правильный треугольник там совсем не очевиден и не интуитивен), то во втором получается очень красивые "горы" из трёх правильных треугольников со сторонами AC/2. А чит в допущении, что если нас просят найти площадь треугольника, значит (скорее всего) она всегда при любых построениях одинакова, и раз я нашёл её для одного случая, то она такова для всех. 😛 PS. в Corel моделировал первый случай, с очень узким и высоким ABC - и искомый треугольник хоть и маленьких, но таки правильный, и точка таки E равноудалена от Q и P

[@LexGorod]

в комментариях по аналогии сделали ещё один похожий вариант: угол ABC=60, тогда всё ещё проще (E=B) ))))

[@mukaddastaj5223]

Просто мозг взорвали, причем так красиво и изящно и за какие-то пять минут...заново влюбляете в математику просто))

[@whinerino]

Здравствуйте, БВ! Очень тревожит следущий вопрос: Необходимо ли в идеале овладевать координатно-векторным методом в стереометрии ЕГЭ? Он совершенно меня не привлекает, учитель тупо даёт формулы и говорит считать. Могу ли я обойтись без всего этого абсурда?

[@user-eu1fr7hk4y]

Ой, это такая красота! Это мой дед виноват. Когда я была маленькая и играла в его дворе с зубчатыми колёсами (дед кузнецом был),он сказал мне красивейшее слово ЭВОЛЬВЕНТА. Эти приключения с математикой до сих пор занимают! 😍🙋‍♀️

[@user-kt9pj8li4d]

Опыт не пропьешь. Если средней линии нет, её надо придумать.

[@mp7511]

Помогите решить систему: sina1-sina2=k ∆a=x Все числа положительны..

[@avazgaziz]

хорошо...

[@denx476]

Кстати эта задача с белорусской олимпиады

[@TOMGEMANAR]

Почему QE 4. в каком треугольнике она средняя линия

[@ivankaznacheyeu4798]

Если ABC и DEF правильные треугольники, лежащие в одной плоскости, то треугольник, вершинами которого являются середины отрезков AD, BE, CF, является правильным. Доказывать можно по-разному. Если нет ограничений в средствах, то достаточно простое (в смысле инструментальное, механическое, не требующее прозрения в виде дополнительного построения) доказательство возможно через комплексные числа. Это же доказательство можно свести к равенству треугольников.

[@plolr8609]

Если есть два подобных треугольника на плоскости, то если провести отрезки соединяющие соответствующие вершины, и посмотреть на треугольник, образованный серединами этих отрезков, то он будет подобен исходным. Применяя это к данной задаче становиться очевидно, что PQE равносторонний.

[@plolr8609]

Не уверен, что можно применять подобных факт на олимпудках, но знать полезно.

[@nikolayvavilin583]

@@plolr8609 точно можно, в чем проблема то? Теорему Пифагора же можно. А это тоже доказанный факт. Причем не супермалотзвестный. Если есть сомнения и много времени его можно доказать в сноске.

[@user-po9oh5gi5c]

В росатоме такая попалась

[@wolf19971807]

4th

[@kostyanich1357]

Я не решил это росатом 10 класс

[@gomersimpson2716]

Вообще не понял почему красные линии равны, если оба треугольника разные. Вообще не понял.

[@blezki]

Можно понять, что задача видимо имеет фиксированный ответ рри любых треугольниках АВС, поэтому стоит поверить, что угол В=60 градусов, и всё становится тривиально

[@edem6498]

Трушин так красиво решил за 5 минут)

[@atmas9755]

Привет, сейчас временно учусь в Польше и тут у них говорят ,что 0 принадлежит к натуральным может знаешь почему? Если знаешь объясни пожалуйста)

[@humaniora_for_all]

Вопрос договорённости.

[@paukrus]

Давний спор математиков. И да, и нет... Ноль - вообще, число особое, уникальное

[@nedo_proger7713]

Третий?

[@ninavoron12]

Странные вопросы люди задают. Как до этого можно додуматься? Не получается до этого, додумайся до другого.

[@EvgenyKnoblokh]

Красивое

[@chedakin]

Добрый день Борис и сообщество. Понимаю, что ролик был не об этом, но он самый свежий, поэтому просто оставлю это здесь, может кто-то подскажет. Элементарная задачка: 2^x = 3^(x+3). Чтобы ее решить, прологарифмируем по основания 10. Получим хlg2 = (x+3)lg3 и в итоге x=3lg3/lg(2/3). Вроде бы все просто. Но можно было взять логарифм не по основанию 10, а, например натуральный. И, сделав все тоже самое, получить x=3ln3/ln(2/3). А можно было взять логарифм вообще по любому основанию, какое в голову взбредет и получить тоже самое.... И что в итоге получается, что ln3/ln(2/3) = lg3/lg(2/3) и в целом это отношение одно и тоже, независимо от основания логарифма? Где я туплю и что я сделал не так? )))))

[@88coolv]

так все правильно, просто отношение логарифов не зависит от основания) log_x(a)/log_x(b) зависит только от а и b, но не от х.

[@trushinbv]

Посмотри ролик про основные свойства логарифма

[@chedakin]

@@trushinbv а я ж смотрел. Но так и не сообразил днем, что это в чистом виде тр, что называют "формула перехода к новому основанию". А вот сейчас комментарии прочитал и как понял :)))) ночью думается приятнее :)

[@padla6304]

так чему равна площадь искомого тр-ка??? задача не решена двойка правильный ответ: S = 4√3

[@yahton309]

душнила

[@user-ox4hz3hn5j]

Второй!

[@boriscokolov409]

А где вы взяли задачу из росатома этого года, если его писали только люди из лицеев 1511 и 1523? Кстати там еще есть 2 вариант решения, где угол NBM

[@jemappellemontagne5698]

А откуда инфа,что росатом писали только эти ученики?) Просто это я скинул эту задачу,т.к был на росатоме)

[@boriscokolov409]

@@jemappellemontagne5698 а ты из 1511 или 1523?

[@jemappellemontagne5698]

@@boriscokolov409 я вообще не из Москвы,а с другого города)

[@Akademik855]

Первый!

[@Re_condr]

При упругом ударе нейтрона о неподвижное ядро некоторого атома нейтрон двигался после удара в направлении, перпендикулярном первоначальному. В результате кинетическая энергия нейтрона уменьшилась в 2 раза. Найдите, под каким углом α к первоначальному направлению движения нейтрона будет двигаться ядро. Решите плз

[@Dididi_17]

ну можно было проще сделать ) нам сказано что построено 2 прав треуг вне ABC а именно ABN BCM но не сказано как именно а значит могли построить так что MN прроходит через точку B в итоге получаем равнобедренную трапецию где угл NBA , ABC , CBM в сумме 180 т.к развернутый NBA=CBM=60 ну и понятно что ABC тоже 60 и получаем что BQP равносторон треуг ну и сторона 4 т.к QP средняя линия ABC а там уже площадь находим

[@trushinbv]

Но если угол В не 60, то они не будут лежать на одной прямой. Вы просто частный случай рассмотрели. За это никаких баллов не поставят (

[@DenisSvistoplasov]

Я обычно подобные задачи решаю так: (не знаю, на сколько это законно) Если условие задачи подразумевает произвольный треугольник, то данные условия и ответ подходят для любого треугольника. А значит я выберу самый удобный для меня случай. Я беру исходный треугольник как равносторонний, тогда точка Е просто совпадет с точкой В.

[@khairust4800]

Люди умные, объясните, пожалуйста, химику-второкурснику, почему EQ равно 4

[@tigran1617]

Если понятно почему EP = 4то таким же методом EQ = 4 но с другой стороны дорисовывая правильный треугольник

[@0RWL]

EQ - средняя линия треугольника с основанием МС. EQ = 1/2MC Этот треугольник не нарисован.

[@khairust4800]

@@0RWL выходит, что MC тоже равен 8?

[@0RWL]

@@khairust4800 а, да, не МС. Но не суть. Там какое-то МR будет. И это MR = AC

[@nemoumbra0]

MC равен стороне ромба.

[@user-qv6um2fw7x]

Ничего не понятно, Но очень иетеремно

[@fungamingist]

Решите пожалуйста задачу: Представьте, что вы в темном лесу ровно в 1км от бесконечной прямой дороги, но вы не знаете куда идти. Чтобы понять, что вы на дороге, надо наступить на нее. Какое минимальное расстояние необходимо пройти в наихудшем случае, чтобы найти дорогу?

[@Yagrusho]

9.62059 км!

[@YungLesha]

А если это равнобедренный треугольник, откуда инфа что это правильный

[@a_k6689]

из аналогичного построения в другую сторону

[@user-ok5pi3dg7y]

сытый и довольный. и не фига не понял )

[@grigoriy4247]

нетривиальная олимпиадная идея

[@paukrus]

Интуитивно и так понятно было, что все стороны по 4. Но как доказать? :) Кстати, задача формально не решена. Найдены стороны (каждая 4). А площадь не найдена. Понятно, что олимпийцам это просто, но формальности есть формальности.

[@romanro149]

Не,плохо обьяснис.

[@TOMGEMANAR]

pochemu QE 4

[@trushinbv]

Средняя линия

[@TOMGEMANAR]

@@trushinbv v kakom treugolnike

[@user-wv9pb1ye2d]

Очевидно, что он должен быть равносторонний, ибо по одной стороне площадь не посчитать, и значит, что от углов первоначального треугольника не зависит. А вот дальше я бы не увидел, что нужно вот так достроить....... Красиво и элегантно. Зачёт.

[@rustammambetov5522]

Не смотрю вас принципиально

[@rustammambetov5522]

Если хотите быть за нацистов езжайте на свою Украину

[@mp7511]

Помогите решить систему: sina1-sina2=k ∆a=x Все числа положительны..

[@ecstasy9405]

Систему относительно чего нужно решить?

[@Animal_2444]

@@ecstasy9405 от х.