Суперзадача по геометрии. Решат только самые прошаренные

Мой канал в VK - yellow....
Площадь маленького зелёного треугольника равна единице. А чему равна площадь большого треугольника?

[@Mikekazarin]

Очень сложная задача, я в школе хорошо знал математику, но такое точно не смог бы решить.

[@MetaDriver33]

У меня получилось покороче решение, но ввиду отсутствия букв на рисунке, сложно будет сопоставить с вашим решением. Суть такая: 1) провёл третью медиану как и у вас, затем 2) дважды применил теорему Менелая, что позволило найти отношение s/S как разность двух треугольников, площади которых нашлись из 2 шага и составили S/12 и S/15 соответственно. Разность составила S/60, что ожидаемо совпадает с вашим решением. И кстати, существует теорема (Теорема Рауса. советую глянуть Википедию), доказывающая, что площадь треугольника образованного произвольными чевианами по отношению к площади большого треугольника выражается соотношением (xyz - 1)^2 / ((xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)), где x, y, z -- отношения отрезков на которые чевианы разбивают стороны треугольника. (в нашем случае [1, 1, 2]) Ну давайте для проверки по Раусу посчитаем наш случай: (1*1*2 - 1)^2 / ((1*1 + 1 + 1)(1*2 + 2 + 1)(2*1 + 1 + 1)) = 1^2 / (3 * 5 * 4) = 1 / 60 Всё сходится, Раус молодец. Успехов каналу!

[@Pavel.Domrachev]

Вот это очень глубокое погружение в задачу! Интересное решение!

[@MetaDriver33]

@@Pavel.Domrachev Среднее. Вот у Эдварда Джона Рауса действительно глубокое. Я считаю его теорему величайшим достижением в познаниии треугольников. Очень странно, незаслуженно и печально что она так малоизвестна на сегодняшний день (2023г), хотя доказана ещё в 1893г. Вся теорема Чевы (тоже одно из высших достижений геометрии) уместилась в числитель формулы Рауса. Это потрясающе.

[@besckvitek6858]

@@MetaDriver33 математик

[@АлександрНикитин-н3г]

Шикарная задача!!

[@MetaDriver33]

Прежде чем ставить на паузу, расставляйте, пожалуйста, буквы на рисунке, чтобы решения было потом проще сравнивать/обсуждать/комментировать.

[@Александр-о8т8в]

Задача действительно олимпиадного уровня. Обозначим треугольник как ABC, а его площадь как S. Достроить третью медиану. Точки медиан обозначим как DHF (медианы AF, DC, BH), соединим, получается срединный треугольник. Его медианы также делят на 6 равновеликих трёшек. Точка пересечения медиан О. Дообозначим треугольник с площадью 1 как MKO. Отрезок DF, параллельный основанию AC, пересекает достроенная медиана BH и линия BN, которая у нас по условию. Обозначим точку пересечения BN с DF как Р, а DF с BH как L. Легко определяется, что 1/6 срединного треугольника равна S/24. Интересен треугольник DKO (один из шести, формирующих срединный), состоящий из DMK и MKO (последний равен 1). Надо выразить стороны КО и МО через соответствующие медианы. Начнём с КО. По свойству пересечения медиан АО=2/3 AF. По свойству треугольников, имеющих общий угол: DO*KO/DO*AO=(S/24)/(S/6), откуда КО=AF/6. Поскольку угол MOK равен углу FOC, то применимо тоже свойство: МО*КО/OF*OC=6/S, откуда MO=8DC/S. Тогда можно вычислить, чему равен отрезок DM = DC-MO-OC=DC*(S-24)/3S. Надо доказать, что треугольник DPM, как и MKO, равен 1. Очевидно, что треугольники DKF и AKH равны. NH=1/6 АС=1/3 АН, значит, площадь треугольника NKH=1/3 площади AKH. А площадь треугольника AKH равна площади DKF, а DKF состоит из 1/3*DHF + DKO, т.е. равен S/8. Соответственно, площадь NKH = S/24. При этом NKH очевидно равен DPK. Но у DPK c DKO есть общая площадь - треугольник DMK. При этом треугольник DKO, также равный S/24, складывается из DMK и MKO. Значит, площадь треульника DPM тоже будет 1. Теперь можно составить уравнение: DP*DM/DL*DO=24/S. DP=DF/3, DL=DF/2, DO=DC/3, DM=DC*(S-24)/3S. Откуда S=60.

[@AlexeyEvpalov]

Обозначим треугольник ABC (A слево), D середина AB, O пересечение медиан. Для удобства, пусть ABC равносторонний. Тогда пересечение медиан делит его на 6 равных частей, то есть треугольник ADO это 1/6 ABC. Проведём горизонтальный отрезок через O, он делится на белую и синюю часть в отношении 2 к 1(1/3 синяя), как и нижняя половина стороны AC. По т Фалеса получим, сумма высот синего треугольника к горизонтали через O это 4/5-1/2=3/10 от суммы высот треугольника ADO. Площадь синего треугольника 1/3×3/10=1/10 от ADO, и 1/6×1/10=1/60 от АBC. Ответ: 60

[@gennadiitrijpizin4814]

Ничего не понятно. Но ооочень интересно!!! Смотрю все задания. Всем добра и благополучия!!!😅

[@андрейгречишников-ы5к]

Отличная задача, автор молодец, рисовать только бы поаккуратнее.

[@ОЛЕНАПОНАРІНА]

Минимум 2 недоказанным допущения: почему высота синего треугольника соотноситься также, как медиана 2:1, из чего это следует? И про вторую среднюю линию - с чего вообще вы решили, что это средняя линия, да ,с одной стороны это середина, но с другой? Даже визуально они не параллельны! Возможно, так и есть, но это нужно доказать, а не просто объявить.

[@Milesius1989]

2 к 1 относятся не высоты, а основания, а высота у них одинаковая. Параллельны они потому что жёлтая средняя линия является средней линией треугольника с красным основанием. А средняя линия, которая состоит из кусочка красной и кусочка зелёной - это часть этого самого красного основания

[@alexpo7804]

если провести высоту синего треугольника и высоту крапчатого, то они будут параллельны. Через т. пересечения медиан проводим прямую параллельную основанию треугольника. она отсечет на высоте крапчатого треугольника снизу отрезок равный высоте синего. Эта же прямая делит медиану в соотношении 2 к 1 т.к. проходит через т. пересечения медиан. По теореме Фалеса она соответственно разобьет высоту крапчатого треугольника тоже в соотношении 2 к 1. Получаем высота синего треугольника в 3 раза меньше высоты крапчатого. А основания у них одинаковые. На чертеже проще объяснять, чем словами. А автор просто выкинул это как само собой разумеющееся.😄

[@genadonnerwetter1379]

Интересно., если провести отрезок из верхней точки треугольника на правую третью часть основания, результат был бы тот же?

[@АлёнаК-ш6н]

Вы провели третью медиану, а потом на нее ссылаетесь, как на высоту. Но нигде не указано, что в этом треугольнике медиана=высоте, даже визуально треугольник не равнобедренный.

[@whitewater1543]

Задача сложная, но подъемная. Главное, догадаться сделать разумные дополнительные построения

[@alexfrozen]

Бомбезно!!!

[@константинпьянков-ц8б]

Очень жаль что таких задач нам в школе не давали,

[@ШукруллоИбрагимов-ь4г]

Большое спасибо.

[@огурецогурец-ы3о]

Очень красивая задача

[@koctya2521]

Задача нелёгкая, но интересная 👍👍👍👍👍

[@ADamskiff]

Никогда б не додумался

[@Milesius1989]

Вроде отношение площадей получилось 60 к 1, значит площадь большого треугольника равняется 60 у.е. Решал в автокаде, по-читерски ))

[@МудрыйЖора]

скажу честно - слишком сложная задача и громоздкие выводы, точнее рисунок - математику хорошо решаю, но тут я честно пас

[@Ivan-Matematyk]

Дизлайк за самоплагіат! Навіщо повторювати своє нераціональне розв'язання цієї задачі річної чи більше давності. У своєму тодішньому коментарі я наводив вам її раціональне розв'язання. Повторювати не буду. Скажу тільки, що достатньо за теоремою Фалеса знайти відношення двох сторін зеленого трикутника, які сходяться у точці перетину медіан, до частин медіан, на яких вони лежать. Перемножити ці відношення і поділити на 6 (бо медіанами трикутник ділиться на 6 рівновеликих частин). Отримаємо відношення площі зеленого трикутника до площі початкового трикутника.

[@aleksmaks3437]

Интересно, а если эту задачу решать наоборот. Площадь большого треугольника равна 60 , получится доказать что площадь маленького треугольника равена1?

[@user-27183]

Это абсолютно одно и то же. Вы доказываете, что площадь маленького равна 1/60 площади большого! Дано 1-получите 60, дано 60 - получите 1.

[@whitewater1543]

А вот такой вопрос автору канала: если в треугольнике провести не медианы, а отрезки, которые делят противоположные стороны в соотношении m/n, x/y. То в каком соотношении точка пересечения этих отрезков поделит сами эти отрезки?

[@whitewater1543]

Все, сам понял. Спасибо за такое видео, которое позволяет даже смежные задачи решать, учит думать

[@ВладимирТурханов]

Продаю цветные фломастеры оптом. Свяжитесь со мной, пожалуйста))))

[@alinadaych8866]

Фото шварца как самого прошарливого?

[@dmitriynazaryev7149]

Что-то не сходится. Если медиана делится в отношении 2:1, то с чего ты взял, что высота тоже будет в таком же отношении? Это не равнобедренный треугольник - медиана вовсе не обязана быть высотой!

[@TOTGAD]

Выводы делаются без полного объяснения. Не рассчитано на людей без очень хорошего знания геометрии. Либо человек "очень умный", либо просто пересказывает чужую задачу не утруждая себя объяснениями "мелочей"...

[@jarv1s614]

Как бы, будет 1/10

[@jarv1s614]

А это, никого не смутило, что 4/5*1/8 = 2/5????

[@ADamskiff]

там 1/2 (не 1/8)