✓ Красивый факт про ортоцентр | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин

Егор: Можете объяснить, откуда берется свойство ортоцентра? Сумма квадратов расстояния от вершины треугольника до ортоцентра и длины стороны, противолежащей этой вершине, равна квадрату диаметра описанной окружности.
Осторожно, спойлер! Если вы хотели, но ещё не успели посмотреть шестое занятие курса trushinbv.ru/ege11c по подготовке к ЕГЭ по математике для 11 класса, не смотрите это видео!
Магазин мерча: trushinbv.ru/shop
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
Онлайн-курсы по математике с Борисом Трушиным:
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 13-19): trushinbv.ru/ege11c
10 класс. Подготовка к ЕГЭ: trushinbv.ru/ege10
10-11 классы. Подготовка к Перечневым олимпиадам: trushinbv.ru/olymp
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/courses
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Как поддержать канал: • Как помочь развитию ка...
Разовая помощь (Ю-money, бывшие Яндекс.Деньги): yoomoney.ru/to/410011017613074
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/trushinbv
Разовая помощь (Donation Alerts): www.donationalerts.com/r/bori...
Регулярная помощь (KZbin): / @trushinbv
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Личный сайт: TrushinBV.ru
вКонтакте: ege_trushin
Facebook: / trushinbv
Instagram: / trushinbv
TikTok: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
Twitter: / trushinbv
KZbin: / trushinbv

[@Qraizer]

Вот за что люблю смотреть Бориса, что несмотря на свои скиллы, не боится показать, что он тоже человек, а не математический оракул.

[@user-jw1of2sh8h]

-Вы продаёте теоремы по геометрии? -Нет, только показываю -Красивое

[@qbp4klst076]

Оооо, это АСМР в начале)

[@cnfnbcn3227]

поражаюсь, как можно настолько быстро это решить. круто!

[@DJVil777]

Опыт большой. Ну и мозг тоже)

[@cnfnbcn3227]

@@user-tapakxbxzozl Я и не говорил, что удивлён) поражён имеет другое значение, если что

[@Misha-775]

Я: сказал, что буду сдавать профиль Учительница математики: 1:45

[@user-ts1kn8hr4k]

Если МО из Школково это увидит, он будет польщён!

[@xrilicc1154]

Это точно! Зная Как МО ортоцентр дрочит

[@user-lh1yx6sb9x]

Я решил немного громоздко, при помощи грубой силы. Есть факт, что расстояние от вершины до ортоцентра х = 2RcosA, а сторона а = 2RsinA (т. синусов)

[@trushinbv]

Да, тоже красиво. Первый факт следует из того, что этот отрезок является диаметром окружности описанной вокруг верхнего треугольника, подобного исходному с коэффициентом cosA. Я про это тоже успел подумать, стоя у доски, но не докрутил ))

[@vitamaslovmaslovgolovchenk8300]

И ЧЕ ВЫ ТАК ЛЮБИТЕ cos И sin, ИХ ЗНАЧЕНИЯ ТОЧНО ОПРЕДЕЛЕНЫ ?? УД

[@_Spellmaniac_]

@@trushinbv А вы доказывали такое свойство? Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра равно удвоенному произведению радиуса описанной окружности на косинус угла этой вершины.

[@KirillReech]

Красиво. Быстро сообразили. Но можно было без альфа доказать. Сразу провести отрезок, перпендикулярный стороне, на одной из которых вершина сидит, до пересечения с окружностью. Сразу бы вылез диаметр, потом угол, который опирается на него, получается прямым, и далее сразу параллелограмм. (В комментариях очень неудобно полное решение писать, поэтому сумбурно, но если сделать такие первые шаги, то дальше и так понятно будет)

[@trushinbv]

А, да, красиво )

[@9TailsExar]

если есть сумма квадратов, которая равна другому квадрату - делай, что хочешь, но своди это все в пифагора.

[@trushinbv]

Там в комментах предложили решение без Пифагора. Там легко показать, что один отрезок равен 2RsinA, а другой-- 2RcosA

[@Stanislavskii1981]

Борис, спасибо за ваше служение математике, школьникам и студентам! Ролик зашёл, побольше такого контента

[@f.linezkij]

1:30 Так и напрашивается сюда вставка "One hour later..."

[@trushinbv]

Именно поэтому я обошёлся без монтажа ))

[@werwolfwaffen3657]

Если очень захотеть, то Пифагора можно и в облаках походу увидеть

[@mayaabagyan396]

Пифагор- он всюду, без него - ну никак.

[@waldemarmoskalecki7891]

не, в облаках вроде как Большая Медведица. Её можно увидеть если захотеть

[@user-kt9pj8li4d]

Вот такое прям люблю. Какие хорошие дети на курсах.

[@MaksymCzech]

Ребята, по этой теме рекомендую хорошую книгу "Новые встречи с геометрией" (в оригинале Geometry Revisited), там как раз рассматриваются и доказываются многие интересные свойства треугольников и окружностей.

[@dark_night1697]

The best, как всегда!

[@mayaabagyan396]

Красиво!!! Возьму на заметку.

[@user-im2rb1gv9s]

это уже поэзия - очень красиво!

[@xrilicc1154]

Классно, спасибо за задачу! Решил ее быстро так как уже несколько других свойств доказывал.

[@IvanBronin]

Краусавчик! Мне сорок, сижу смотрю и оторваться не могу. Сыну 7 лет (2 класс), потихоньку с ним занимаюсь. Посаветуете ресурс, где можно увлекательно и буджетно заниматься с сыном.

[@AzTeG]

спасибо за разбор

[@dyman13x]

прям возбудило решение! супер!

[@letsplay1626]

Уже из формулировки похоже, что там прячется Пифагор)))

[@Bella_2319]

Борису лайк, как всегда! Вы супер преподаватель!

[@caftanfire7597]

Вау! Живое решение еще круче!

[@vitamaslovmaslovgolovchenk8300]

БРАВО, БОРИС !!

[@true7781]

*Из теоремы синусов:* x = 2R⸱cos A = D⸱cos A; (A - угол при вершине тр-ка) a = 2R⸱sin A= D⸱sin A; x² + a² = D²⸱( cos² A + sin² A) = D².

[@dungeonmaster6431]

Даёшь больше АСМР!!!

[@trushinbv]

Я даже загуглил что это такое )

[@khaluksarulu3709]

Спасибо!

[@Sergey-Primak]

решение понравилось! параллелограмм нашел, но в лоб не понял как доказать, что параллелограмм не оперирую углами через хорду, все через сложные пути, теперь на всегда запомню

[@servenserov]

Какое у Вас, однако, чутьё, Борис Викторович! Полминуты смотрели на чертёж - и готово доказательство, кстати, не самое очевидное. *Спасибо!*

[@vodoley1971]

Красиво!

[@user-or6pu7ub3b]

Красивый факт!

[@EvgenyKnoblokh]

Красиво доказывается

[@alfal4239]

Через вершину (каждую) провести прямую параллельно противоположной стороне. В получившемся треугольнике (он подобен исходному с коэффициентом 2) прежний ортоцентр станет центром описанной окружности. В новом треугольнике есть все нужные Пифагоры.

[@dspc55]

Необычайно Круто! Как вы догадались до такого?

[@user-ey5xw2nx9s]

3:06. Решил чисто геометрически. Хороший факт! Я решил также! Единственное я перемудрил с тем, что при параллельном переносе отрезка x его конец будет лежать на окружности

[@skrxskrx]

красиво красиво

[@simpmebaka]

О, я этого сюжета знаю) Красивая штука имхо, хоть и не шибко сложная

[@Noobish_Monk]

Офигеть!

[@si7-agent]

А ведь действительно красиво

[@AT_geometr]

Я тоже довольно долго не мог понять, что написано в условии. Как говорится, русский язык "повысился".

[@bluepen2637]

А будет разбор задач с только что прошедшего тургора? Они там довольно интересные были, а в интернете нигде разбора не нашёл

[@user-pd8eo7vk6e]

Тоже сразу захотелось увидеть Пифагор. Можно было и без введения альфы: провести перпендикуляр (кот. первый слева) и отрезок из новой точки к вершине треугольника (кот вы провели вторым), тогда этот отрезок тоже перп-р (опир. на D). Тогда противопол стороны 4-уг-ка || и далее то же...

[@mrred1ska490]

гениально

[@bluepen2637]

Круто! Можно ещё так: как известно, расстояние от центра описанной до стороны равно x/2 (доказывается в одну строчку). Тогда у нас есть прямоугольный треугольник со сторонами x/2, a/2, D/2. Отсюда следует требуемое

[@user-jz2sn8gq4r]

Это для равностороннего треугольника только

[@bluepen2637]

@@user-jz2sn8gq4r нет конечно. Это верно для любого треугольника, докажите, это несложно

[@user-ei6rd7ei7x]

Отразим ортоцентр относительно середины стороны, получим параллелограмм, а образ ортоцентра диаметрально противоположен вершине. x также равно противоположной стороне этого параллелограмма, отсюда x^2+a^2=D^2 по теореме Пифагора.

[@user-dt2xl8mg3q]

Очень круто!!!!!!!!!!!!!!!

[@linakochkarova7314]

Борис Трушин😍😍😍😍😍😍😍😍 мой герой

[@servenserov]

Наикрутейшая крутизна! Но как можно было предположить такую связь!?

[@user-qz9mf2sy5g]

Кайф

[@ivankaznacheyeu4798]

Я решил немного по-другому. Не стал рисовать окружность, а нарисовал треугольник, который получается при повороте исходного относительно середины одной из сторон на 180 градусов. Заодно доказал ещё один факт: если соединить ортоцентр повернутого треугольника с дальней вершиной исходного треугольника, этот отрезок будет диаметром описанной окружности исходного треугольника.

[@user-le8ln2lh9g]

я удивлен) удивили, так удивили

[@fedorka_pom]

600 лайков 0 дизлайков. Мощно!

[@user-kc6wp9cq8p]

Про интеграллы... Можно пожалуйста

[@bingo9241]

Есть факт, что расстояние от вершины до ортоцентра вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противоположного стороны, а дальше Пифагор

[@user-qd2tm8gh7l]

Хах, круто

[@user-xuyuzer666]

Теорема Менелая для пространства также существует

[@trushinbv]

Да, есть какая-то. Но, на сколько я понимаю, это просто трижды записанная теорема из планиметрии

[@Melkor-Morgoth]

Не ученик, но с какого эта диагональ является диаметром? Может это просто хорда

[@beastixx]

опирается на впис угол равный 90°

[@user-sc4tf9tf3e]

Ты про гипотенузу? Если да то напротив угла в 90 ° лежит диаметр

[@Melkor-Morgoth]

Все, понял. Это типа 2 хорды, между которыми 90 градусов угол. Всегда была проблема с геометрией, хотя школу закончил с 5 по геометрии

[@abitlogic6913]

Отличное решение, я поставил на паузу на 3:30, думал минут 10, но нашёл треугольник ровно тот же, исходил именно из теоремы пифагора, но не понял как доказать что гипотенуза пересекает центр окружности, с чего вдруг это диаметр, а не хорда? я такие свойства прямоугольного треугольника в окружности давно забыл)

[@KOPOJLb_King]

Если вписанный угол равен 90°, то он опирается на диаметр 😉 Ну и наоборот, соответственно, хотя в данной задаче это не важно :)

[@abitlogic6913]

@@KOPOJLb_King это ты знаешь, молодец, а смог бы это доказать сам? Я имею в виду не просто заученные фразы, а понимание откуда что следует

[@Valensio]

@@abitlogic6913 вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Если вписан прямой угол, то дуга 180 градусов, а это половина окружности, значит хорда - диаметр

[@KOPOJLb_King]

@@abitlogic6913, Вы спросили "Почему..?" - я Вам ответил. Если нужно доказательство, то так бы и написали, ибо я не обязан угадывать что-либо и уж тем более отчитываться в чем-то перед Вами... А решение можно придумать, например, такое: градусная мера вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается (к тому же он равен половине центрального угла). Если центральный угол равен 180°, то он образован двумя радиусами, лежащими на одной прямой - диаметром, поэтому если вписанный угол равен 90°, то он опирается на диаметр. Доказательство Валентина Воропаева вообще выше всяких похвал, прям как из учебника 😀

[@abitlogic6913]

@@KOPOJLb_King Всё верно) оставлю свои подозрения, что вы взяли из учебника слово в слово) а то фраза "вписанный угол равен половине градусной меры дуги" строго говоря откуда вообще следует? Мы в универе доказывали что синус есть непрерывная функция, а тут вон какое утверждение

[@kirillonf.m.4713]

Борис, или умные люди, объясните, почему степень корня - это только натуральное число и не равное одному? Почему такие ограничения, почему не могут быть например дроби или отрицательные числа или ноль?

[@KOPOJLb_King]

С нулем совсем просто: корень n степени из числа a^b можно представить в виде а^(b/n), поэтому если n=0, то нужно делить на 0... Ну такое... По этой же причине сомнительно писать "дробный" или "отрицательный" корень, ибо через свойства степеней легко свести с натуральным значениям :) Ну а корень 1 степени - это и есть само число 😀 О иррациональных и других множествах чисел попрошу рассказать более опытных математиков, ибо сам не в состоянии что-либо об этом сказать :(

[@kirillonf.m.4713]

@@KOPOJLb_King С нулем, единицей и дробными я сам там подумал. А почему отрицательные нельзя, тут я хз. Я молчу про иррациональные и действительные, тут я просто не знаю что делать

[@allozovsky]

@@kirillonf.m.4713 Если вам действительно интересно, в чём здесь дело, то ответ очень простой: это произвольное соглашение. Вот, например, что на эту тему пишет Пратусевич (Алгебра и начала математического анализа. 10 класс, 2009): "Употребляя символ ⁿ√ мы полагаем, что n - натуральное число. Это соглашение не является общепринятым. Иногда в книгах встречаются записи вида ¹ᐟˣ√x, хотя большинством авторов принята точка зрения о том, что показателем корня является именно натуральное число, большее 1."

[@kirillonf.m.4713]

@@allozovsky Интересно почему так..... Столько загадок и так мало ответов

[@allozovsky]

@@kirillonf.m.4713 А вот Колмогоров (Алгебра и начала математического анализа. 10-11 кл., 2008): "При нечётном n существует корень n-й степени из любого числа 𝒂 (в том числе отрицательного), и притом только один. Этот корень обозначают ⁿ√𝒂. Удобно считать, что корень первой степени из числа 𝒂 равен 𝒂." Впрочем, обозначение ¹√𝒂 явным образом в учебнике нигде не вводится, но и не запрещается.

[@user-apostata]

А почему гипатенуза это диаметр?

[@d1amondzz_]

потому что вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается, угол 90° по построению => дуга 180°

[@vse9761]

Немного не осознал, почему это именно диаметр, а не какая-то хорда?

[@limonad1227]

Хорда на которую опирается угол 90° является диаметром. А 90° там по построению (перпендикуляр)

[@canis_mjr]

Потому, что окружность описана вокруг прямоугольного треугольника. Гипотенуза в этом случае диаметр.

[@volodymyrgandzhuk361]

Чтобы это был ромб, треугольник должен быть равнобедренным. Если я ничего не перепутал.

[@trushinbv]

Да

[@linakochkarova7314]

"а зачем тебе это надо?"

[@Evgen2385]

Умный аж бля страшно!Сижу, смотрю нихуя не понятно,но оч. интересно.

[@owlidentity5714]

а как доказать что тот отрезок и есть диаметр?

[@trushinbv]

Прямой угол опирается на диаметр

[@owlidentity5714]

@@trushinbv спасибо большое

[@user-dp2xv1gm5d]

А какие факты можно использовать без доказательства на ЕГЭ? Те, у которых есть названия?)

[@KOPOJLb_King]

Только факты, доказательства которых можно найти хотя бы в одном из учебников по математике из официального перечня... 😉

[@user-dp2xv1gm5d]

@@KOPOJLb_King спасибо)

[@user-mb5ld7ue2p]

можно при помощи AH=2OM_1 также решить

[@Dani-pk2wp]

А как доказать, что последний отрезок - диаметр?

[@trushinbv]

На него опирается вписанный прямой угол

[@yarikruchak5493]

Возник вопрос: а почему хорда равна отрезку х?

[@trushinbv]

Параллелограмм же

[@user-er6zr1tm3i]

"Увидеть Пифагора" - это как "принять ислам"?

[@kirillonf.m.4713]

Ну не. Первое вполне законно))))))))))))