Такие разные бесконечности. Счётные и несчётные множества | матан

[@alexandrademianko921]

На первом курсе почти забыла про этот прекрасный канал. Пока не начались очень мутные объяснения теории множеств на дискретной математике. "Не смогли смириться с поражением? И куда вас это привело? Снова ко мне." Спасибо, все опять встало на свои места!

[@ОлесяСамылова-о5ц]

Как же жизненно, и года не прошло - я снова здесь. Трушин легенда

[@bad-_-boy]

ощущаю себя Кантором, у меня тоже крыша поехала

[@ewgeniypanarin1434]

там много у кого с "крышей" проблемы были .Гёдель ,Нэш ..

[@АллаТоршина-ж9ы]

@@ewgeniypanarin14340

[@armenberberyan5184]

Благодесрю/ Читайте антропософию Р.Штайнера. и все прояснится, а то жизнь протечет мимо..

[@clovek228]

@@armenberberyan5184 чего?

[@ЕвгенийМаксимовичПримаков-б1с]

Надо было более 20 лет в должности президента бывшему директору ФСБ, что бы понять что СШа и англы из себя представляют?

[@bes.maziev]

Боже, храни Трушина

[@mp443]

Боже, накорми Трушину

[@РоманШафир]

Спасибо за видео! Когда вы работаете у доски, материал воспринимается гораздо лучше!

[@vittos7832]

Помню когда два года назад смотрел это видео по причине интереса этой темы Тогда я посмотрел и даже не внимал всю суть Теперь я на первой курсе и мне приходится снова пересматривать это для освоения материала Спасибо вам за вашу работу!

[@armenberberyan5184]

Благодесрю/ Читайте антропософию Р.Штайнера. и все прояснится, а то жизнь протечет мимо..

[@thestranger2306]

@@armenberberyan5184К чему этот спам?

[@my_learning_spaceship]

Пересматриваю уже раз пятый, чтоб не молчать на коллоквиуме Потому что всё понятно, но панику никто не отменял

[@lagrangestheorem8006]

Несмотря на то, что мне тридцатник скоро, смотрю ваши видео для школьников с большим интересом. Увидев же уведомление, что вы стали записывать еще и университетский курс, я был просто счастлив! Спасибо вам огромное, Борис! Жду каждое ваше видео с большим нетерпением!

[@armenberberyan5184]

Благодесрю/ Читайте антропософию Р.Штайнера. и все прояснится, а то жизнь протечет мимо..

[@nikitakapitonov4314]

@@armenberberyan5184 заебал

[@fartunmaster0074]

это немного не для школьников))

[@FerisovGerman]

Воу, это слишком круто. я просто поражен! Настолько базовые вещи витают у каждого в голове, но не каждый к этому приходит. Спасибо вам огромное, это открыло мне глаза на структуру данной темы!

[@crispiecookie9880]

Это сейчас двояко прозвучит, но много раз видела видео с этого канала объяснения по биологии и не то чтобы мне особо нравилось. Зато к моему удивлению это лучшее объяснение этой темы из тех, которые мне попадались. И простым языком, и быстро, и интересно. Спасибо!

[@trushinbv]

Вы не могли здесь видеть видео по биологии )

[@ИринаАрутюнова-г7я]

Какой вы умничка, самое адекватное объяснение, я наконец-то поняла доказательство, а ещё спасибо комментам!

[@ДмитрийИкс-м1ю]

понял со второго раза. Борис, это космос! Спасибо!

[@GlockGucci]

Очень крутые и полезные видео!!! Продвинаем матан для первокуров.

[@juliab9102]

Спасибо Вам огромное! Все понятно и интересно. Очень выручает перед экзаменами

[@НикитаНазаров-ш1э]

Спасибо! Попонятнее, чем на лекциях в ЛФИ

[@ellumien]

аналогично, я с ФПМИ)

[@МихаилР-э7р]

Привет с ФАКТ)

[@СергейДавыдов-е3с]

Спасибо большое! Отличное и понятное доказательство несчетности R. У Кудрявцева в учебнике это доказательство основывалось на представлении чисел в виде десятичных дробей и я его вообще не понял, а тут все наглядно и понятно.

[@lukandrate9866]

Q

[@AdCoder]

Вот такой формат очень нравится +++ Спасибо вам

[@marlanivanovich1828]

Кратко, лаконично, спасибо!

[@ser1k908]

большое тебе спасибо❤

[@oneofthemoons]

Огромное спасибо за летнюю разминку для мозга.

[@muradaqayev9903]

Спасибо большое.!!!

[@lidia7982]

Здравствуйте. Еду с пар в трамвае. Решила послушать лекцию. Отлично спится в тепле под ваш голос. На следующий день дома пересматриваю.

[@anyaananasss]

егэ прошел, пришел матанализ, но прекрасный борис трушин продолжает меня спасать и объяснять тему так, что даже такой дуб-дубом, как я, понимаю ее все же хотелось бы задать вопрос по диагональному методу кантора, который нам объясняли в вузе. вот у нас есть таблица, в которой мы написали бесконечные десятичные дроби и присвоили каждой из них номер. после заполнения таблицы мы возвращаемся к ее началу и пишем новую десятичную дробь, но первый знак новой дроби на единицу больше первого знака первой дроби, второй знак новой - на единицу больше второго знака второй дроби и т.д., и так мы получаем абсолютно новую дробь. а что мешает, ну, присвоить новой дроби номер, на единицу больший номера последней дроби в таблице, и занести ее туда?)))) натуральных же чисел тоже бесконечно много... где-то на интуитивном уровне я понимаю, что это работает, но внятно объяснить "почему" самой себе не могу. это работает, потому что наша таблица уже закончена, и туда нельзя вписывать новые числа? или потому что натуральные числа "кончились" на последней дроби в таблице (но это же тоже как-то странно, как бесконечные числа могут кончиться......)?? в общем, буду очень благодарна, если ответите.......

[@trushinbv]

Так мы предположили, что мы уже все дроби пронумеровали. То есть каждый натуральный номер уже присвоен какой-то дроби. У меня здесь - kzbin.info/www/bejne/bpaThqysnql1rqc - про это есть

[@iamelgraf]

уважаемый Борис, я вами восхищаюсь! спасибо за ваш труд.

[@ВикторКонтуров]

Я тоже раньше этого не понимал, пока не провел такую аналогию: будем добавлять по единице к натуральному числу. Для каждого получившегося числа есть соответствие среди натуральных. По такой логике можно подумать, что нат. чисел конечное количество, так как мы никогда не дойдем до бесконечности. Но суть здесь в том, что ПОСЛЕ ЛЮБОГО КОЛИЧЕСТВА ОПЕРАЦИЙ БУДЕТ ЕЩЕ КАК МИНИМУМ ОДНА, ТО ЕСТЬ МЫ НЕ ЗАКОНЧИМ МНОЖЕСТВО НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В КОНЕЧНЫХ ПРЕДЕЛАХ. Так же и здесь. ПОСЛЕ ЛЮБОГО КОЛИЧЕСТВА ОПЕРАЦИЙ БУДЕТ ЕЩЕ КАК МИНИМУМ ОДНА ТО ЕСТЬ МЫ НЕ ЗАКОНЧИМ МНОЖЕСТВО ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ В СЧЕТНО-БЕСКОНЕЧНОМ ПРЕДЕЛЕ.

[@кеншинбродягаова]

Вау. Я был просто в шоке, когда смотрел))

[@leramalakhova]

Спасибо вам! Наконец я поняла эту тему!

[@molecularva]

Большое спасибо за ваши лекции! Правильно ли я понимаю, что доказательство несчетности множества действительных чисел не будет работать для рациональных, так как общая точка C не обязана быть рациональным числом?

[@trushinbv]

Именно так

[@xiangqi_in_russia]

@@trushinbv но надо ли доказывать, что точка C не рациональная? Ведь если она рациональная, то мы не нашли то, что не смогли посчитать => посчитали весь отрезок. Как доказать?

[@ГеоргийДмитриев-ч2з]

​@@xiangqi_in_russiaтут вообще всё сложнее, если для какого-то сопоставления нашли точку С, то можем создать ещё одно сопоставление поставив С в начал, но для этого нового сопоставления, мы можем найти другу С', и так до бесконечности Получается, что каждый раз мы сопоставляет всё больше чисел, но никогда не сопоставим всё

[@bumbit8407]

супер интересный видос получился

[@vladislavzzz8627]

Спасибо за видео)

[@НиколайЧерток]

Лучший Я без тебя хрен ту математику пойму

[@Answer404]

Круто!

[@Hazlarorn]

Спасибо

[@ИмяФамилия-э4ф7в]

Не совсем понял, а что мешает нам применить для рациональных чисел ту же логику, что для действительных?

[@MrKesseker]

Там нет иррациональных, значит, там неполное множество

[@brinza888]

@@MrKesseker там не выполняется принцип вложенных отрезков, ведь множество рациональных не непрерывно в отличии от действительных. Во всяком случае это то, как я понимаю этот принцип.

[@MrKesseker]

@@brinza888 там и по Дедекинду 3 типа числа "бета" бывает...

[@sckwokyboom1021]

Так и не уловил ответ на этот вопрос. Подскажите, кто разобрался, пожалуйста.

[@ilgizilgiz5960]

@@sckwokyboom1021 тоже не мог понять. Но...Сосредоточтись. Если вы сделаете тоже самое с множеством рац. чисел то также найдете число которое не перечитали Но ОНО НЕ ОБЯЗАНО БЫТЬ РАЦИОНАЛЬНЫМ. А НА САМОМ ТЕЛЕ ОНО ИРРАЦИОНАЛЬНО

[@terraria9961]

Классно, но кажется, что где-то тебя надурили...)

[@NoimannAlive]

го террку?)

[@bocik2854]

@@NoimannAlive c модами)

[@NoimannAlive]

@@bocik2854 Не против)

[@Syllogist]

Именно так: надурили :-) 05-10. ЛОГИЧЕСКИЙ ФАНТАЗМ №10: БЕСКОНЕЧНЫЕ ПАРАДОКСЫ МНОЖЕСТВ: kzbin.info/www/bejne/q5mbmmhojZxsmpI

[@now_ever]

@@Syllogist жаль видос не доступен(

[@ДенисФ-о9т]

По поводу счетности рациональных чисел: весь секрет в том, как считать. Этот секрет успешно освоили экономисты и торговцы на рынке, чтобы считать индикаторы с нужным для себя результатом. Более того: торговцы оказались даже круче ибо знают не только как посчитать сдачу с выгодным результатом, но и как взвешивать.

[@pektusinp.6277]

А почему доказательство несчетности отрезками не работает для рациональных чисел?

[@MaksimMakrushin]

Хороший вопрос, между единичкой и нулем точно так же бесконечно много рациональных чисел.

[@ГлебБубнов]

Потому что на прямой есть ещё иррациональные числа

[@markshevelev9508]

Потому что для рациональных чисел общая точка для системы вложенных отрезков может и не существовать. Например, можно построить делением отрезка [1,2] пополам систему вложенных отрезков, длина которых будет стремиться к нулю и единственная точка, которая будет им принадлежать - это такое число, которое даёт двойку при возведении в квадрат. Если такое число и существует, то оно точно не рациональное.

[@pektusinp.6277]

Тогда по аналогии можно построить такую систему вложенных отрезков, единственной общей точкой которой, к примеру, будет число 2/3, тогда иррационального числа, являющегося общей точкой всех отрезков, не будет существовать.

[@markshevelev9508]

Да, это возможно. Но это ничему не противоречит.

[@ШийринайСадикова]

спасибо

[@Ssilki_V_Profile]

А что на счёт соотношения между действительными и иррациональными?

[@андрейтрилин]

ты красава

[@dadagj728]

а почему нельзя применить доказательство несчётности множества вещественных чисел к множеству рациональных? так же выбрать отрезок от 0 до 1, получить систему вложенных отрезков и придти к такому же выводу? заранее спасибо

[@jerryart4u914]

Тут имеет место стягивающаяся система вложенных отрезков. То есть общая точка у них единственна. Так как множество действительных чисел содержит рациональные, это может быть и рациональное число. Но в таком случае мы просто смотрим на таблицу, которую привел Борис Викторович и говорим: "Так вот же оно пронумеровано". Более содержательный же ответ явно кроется в непрерывности вещественных чисел, которой нет у рациональных. Даже лемма о вложенных отрезках по-другому называется теоремой о НЕПРЕРЫВНОСТИ действительных чисел. Иначе говоря, как и сказал Борис Викторович, на отрезке любой сколь угодно малой длины эпсилон > 0 можно найти бесконечное количество рациональных чисел, НО если длина отрезка -> к 0, как в стягивающейся системе вложенных отрезков, то это уже неверно. То есть мы не можем утверждать, что на очередном вложенном отрезке вообще найдутся рациональные числа.

[@Qwert-xq7vu]

Отрезки на множестве Q (мн. рац. чисел.) могут вполне стянуться в иррациональную точку. Получится что мы её не пронумеруем... Хорошо же!)

[@UdarRusskihPudgei]

Мне на тему бесконечностей в своё время Канторова пыль взорвала мозг.

[@Syllogist]

05-10. ЛОГИЧЕСКИЙ ФАНТАЗМ №10: БЕСКОНЕЧНЫЕ ПАРАДОКСЫ МНОЖЕСТВ: kzbin.info/www/bejne/q5mbmmhojZxsmpI

[@ВладимирИстархов]

Основатель теории множеств. - это ГЕОРГ КАНТОР и эти ребята говорят - теперь это наше всё! Само слово «КАНТОР» означает певец в синагоге, поющий псалмы. Кантор главный запевала в синагоге теории множеств. Его псалмы в теории множеств называют теоремами, но ВСЕ теоремы Кантора лживы. Центральная теорема Кантор о том, что множество всех действительных чисел на отрезке 0-1 имеет ЯКОБЫ несчётную мощность. Кантор строит таблицу всех действительных чисел на отрезке 0-1 1 - 0, a1, a2, a3, a4, a5 … 2 - 0, b1, b2, b3, b4, b5 … 3 - 0, c1, c2, c3, c4, c5 … 4 - 0, d1, d2, d3, d4, d5 … 5 - 0, e1, e2, e3, e4, e5… ………………………………… И далее по диагональному методу Кантор строит новое действительное число НДЧ, которого в этой таблице ЯКОБЫ нет. Как он строит НДЧ? Очень чётко, конструктивно и просто. НДЧ = 0, не a1, не b2, не c3, не d4, не e5 … (1) И далее Кантор доказывает, что это НДЧ в данной таблице отсутствует. Потому, что оно отличается от всех чисел данной таблицы: от первого числа в первой цифре, после запятой, от второго числа во второй цифре, от N-го числа в N-й цифре и так до безконечности. Вот и всё доказательство. Бурные продолжительные аплодисменты! И вроде не видно никаких дыр. А не видно потому, что структуру таблицы никто не обсуждал. Опровержение Мельника А.Д. из книги «Что такое параллельная математика?». Но давайте мы посмотрим внимательно на диагональную процедуру и раскопаем наконец особенности структуры Таблицы Кантора. Легко видеть, что диагональная процедура работает только на квадратных таблицах. Но Таблица всех действительных чисел совсем не такова - она не квадратная, а прямоугольная и в ней диагональная процедура всю таблицу не охватывает. И никакими манипуляциями невозможно построить в этой таблице НДЧ, которого там нет. Для простоты и сокращения примера будем писать числа не в десятичном, а в двоичном коде. Рассмотрим вначале Таблицу Кантора в конечном виде. Пусть она будет конечной из чисел, с 2-мя цифрами после запятой. Тогда ширина таблицы ВОС (количество столбцов) будет 2, а глубина (количество строк) будет 4: 1 - 0, 0 0. 2 - 0, 0 1. 3 - 0, 1 0. 4 - 0, 1 1. Строки можно переставлять, ничего не изменится. Запустим по ней диагональную процедуру Кантора и построим его любимое новое число НДЧ = 0,10. Диагональная процедура закончена. НДЧ построено по диагональному методу Кантора. Это НДЧ = 0,10 от первого числа отличается в первой цифре, от второго - во второй. Из этого Кантор делает вывод, что НДЧ ЯКОБЫ вообще не существует в таблице. Но это явная ложь. НДЧ отсутствует только в квадратной части таблицы, а таблица ВОС на самом деле не квадратная, а прямоугольная. НДЧ отсутствует только в первых 2-х строках квадратной части таблицы, но прекрасно существует в этой же таблице - ниже квадратной части, в прямоугольной части. Если мы возьмём таблицу, где есть n цифр после запятой, то ширина таблицы будет n, а глубина 2 в степени n, для двоичной системы и 10 в степени n, для десятичной. Ничего в структуре таблицы не меняется, всё то же самое, она прямоугольная. Кстати растёт вниз гораздо быстрее, чем по строкам. По индукции перейдём от n к безконечности - ничего не меняется. Ширина таблицы будет ∞, а глубина 10 в степени ∞. Таблица не квадратная и в ней диагональная процедура Кантора всю таблицу не охватывает и ничего не доказывает. А в НАСТОЯЩЕЙ (прямоугольной) таблице есть ВСЕ НДЧ Кантора и вообще все действительные числа - тема полностью закрыта. Вот и лопнуло доказательство центральной теоремы Кантора о континууме действительных чисел. Вывод - множество действительных числе СЧЁТНО. Кстати ВСЕ множества счётны - других нет.

[@КрылоБезруков]

ок

[@fullfungo]

Кантор не делал «таблицу всех действительных чисел». Его первое доказательство было более сложным и замудрённым; метод диагонализации появился позже.

[@ВладимирИстархов]

@@fullfungo У Кантора ВСЕ теоремы ложны. И то, что раньше и то, что позже.

[@fullfungo]

@@ВладимирИстархов сильное утверждение. Доказательств, я так понимаю, не будет? Или просто сами так решили?

[@ВладимирИстархов]

@@fullfungo Прочитайте мою книгу "Лживость теории множеств" - там всё подробно изложено. Ну а доказательство лживости теоремы Кантора о несчётности множества всех действительных чисел на отрезке 0-1 я привёл в первом посте. Прочитайте ВНИМАТЕЛЬНО - всё просто.

[@frik0sss]

Вопрос: Почему нельзя применить систему вложенных отрезков к рациональным числам?

[@trushinbv]

Можно, но на рациональных числах может оказаться так, что и них нет общей точки

[@Ag-de8yh]

Почему у действительных чисел тогда эта точка обязательно есть?@@trushinbv

[@ГеоргийДмитриев-ч2з]

​@@Ag-de8yhэто нужно смотреть аксиомы действительных чисел Тут уже перестаёт работать интуитивное понимание числа

[@ГеоргийДмитриев-ч2з]

​@Interestedforну например мы можем взять отрезки с центром √2 и n- й будет длиной 1/n Тогда у них будет одна общая точка √2, которая иррациональна

[@imedzhidli]

Почему мы не можем взять длину интервала 2,3 и тд? Как происходит покрытие рационального числа интервалом? Почему длина каждого нового интервала уменьшается в два раза(+ почему нет 1/5,ведь число тоже рациональное)? Объясните, пожалуйста.

[@ВладГорхенюк]

Здравствуйте, Борис Викторович! Можете пожалуйста сказать, почему, если мы в последнем примере со стягивающимися отрезками вместо действительных чисел возьмем рациональные, то нельзя таким образом доказать, что рациональные так же несчетны. Мы таким же образом сможем получить точку с, которая не относится ни к какому номеру и следовательно рациональные числа несчетны. Заранее спасибо!

[@Syllogist]

05-10. ЛОГИЧЕСКИЙ ФАНТАЗМ №10: БЕСКОНЕЧНЫЕ ПАРАДОКСЫ МНОЖЕСТВ: kzbin.info/www/bejne/q5mbmmhojZxsmpI

[@fullfungo]

Для рациональных чисел, есть системы интервалов, где общей (рациональной) точки нет. Для простоты, возьмите интервалы, которые стягиваются к иррациональной точке. Например: [1; 2], [1,4; 1,5], [1,41; 1,42], [1,414; 1,415] и так далее для корня из 2. У них будет только одна общая точка - корень из 2. А он не рациональный. Следовательно, у них НЕТ общей рациональной точки.

[@ottocrush6482]

@@fullfungo так почему же нет, можно же точно также, как и с действительными числами, бесконечно долго делить диапазон с рациональными числами на три отрезка, в одном из которых не будет пронумерованного числа и в конечном итоге найдётся число С, что будет общим для всех этих отрезков и по идее будет рациональным

[@fullfungo]

@@ottocrush6482 А с чего вы решили, что C будет рациональным? И что вы думаете насчёт моего примера; там единственное общее число - корень из 2 (иррациональное)

[@ottocrush6482]

@@fullfungo да, я разобрался ещё немного и понял что С будет всегда иррациональным, ваш пример кстати кстати довольно сильно помог, благодарю

[@hseboxing]

👍

[@ДанилПетров-ф8к]

Борис Трушин, а иррациональные числа получается тоже не счётные или нет?

[@trushinbv]

Да

[@stickero_o8143]

@@trushinbv Не принимаю последнее объяснение несчетности действительных чисел) такое же можно применить и к рациональным - что неверно. Если мы берём табличку рациональных чисел и "подставляем" под знак корня - получится счетное множество. Берем натуральный степень корня - получаем множество наслоившихся табличек. Т е уже не матрица чисел, а тензор (куб). Пересчитать элементы можно: считаем элементы по сечениям. Идём дальше (натуральных степеней корня недостаточно), нужно использовать все числа из таблички в степени корня. Получаем не куб, а 4-мерный объект (скаляр0, вектор1, матрица2, тензор3, инфиар4), элементы которого тоже можно посчитать по сечениям. Получается насколько бы мы не углублялись, всегда будет гиперкуб, элементы которого можно посчитать (дать каждому элементу номер). И наоборот зная номер элемента можно ОДНОЗНАЧНО определить его местоположение в системе.

[@trushinbv]

@@stickero_o8143 а в какой момент у вас получатся числа е, пи и другие, которые не выражаются через степени?

[@stickero_o8143]

@@trushinbv Хм... а вот это уже более весомый аргумент)

[@stickero_o8143]

@@trushinbv интересно, что если представить номер элемента в виде его координат в таком пространстве (например 0.0.0.0 - 0.0.0.1 - 0.0.1.0 - ... - 1.1.1.1 - 0.0.0.2 ...) мы никогда не дойдем ни до е, ни до пи. Как бы мы ни отдалялись от начала системы координат, эти числа будут дальше. Что доказывает, что подобные числа выходят за пределы счетного множества

[@walkingaloneorwithyou2110]

Все четные натуральные можно пересчитать? Ну удачи

[@vvalik]

вот это у вас шутки.

[@vvalik]

а видео мне понравилось

[@albertlivelman]

4/6=1/3 Означает ли равенство этих чисел, что 2/3 и 4/6 - это одно и то же число, то есть, что они неразличимы?

[@trushinbv]

Это разная форма записи одного и того же числа

[@DSM-Warrior]

Все круто, микрофон бы другой)

[@trushinbv]

Да-да, я уже с этим экспериментирую ))

[@DSM-Warrior]

Борис Трушин в последующих уроках уже хорошо

[@mathand8990]

Можно ещё посмотреть видео Vsauce на тему бесконечных множеств, типа алеф-нуль и так далее, крайне занятно.

[@олександригнатюк-о4ъ]

а что дальше недостижимый кардинал - или буква N на карте GTA

[@АлександраЖогина]

Объясните, пожалуйста, почему мы на каждое рациональное число навешиваем отрезочки по-уменьшению. Ведь если взять эти отрезочки любым сколь угодно малым числом, но одинаковым, мы должны все закрасить... Или нет

[@СергейДавыдов-е3с]

В том и смысл - показать, что иррациональных чисел бесконечно больше.

[@vic88tor]

Думал что множество рациональных чисел всюду плотно, и поэтому оно не счетно.оказывается нет.

[@TheSnos15]

ну как плотно? всегда можно сделать шаг в обе стороны, который не сможет покрыть рациональное число

[@fullfungo]

Так можно взять числа: 0,9; 1,1; 0,99; 1,01; 0,999; 1,001;… Оно очевидно счетное, так как мы его записали последовательностью. Оно «плотно» около числа 1, но всё равно счетно.

[@ОлегАвдеев-р8л]

@@TheSnos15 , здравствуйте! Извините, ваше утверждение не является очевидным. Как доказать его справедливость? Мне на самом деле интересно.

[@TheSnos15]

@@ОлегАвдеев-р8л какие бы два рациональных числа ты ни взял, сколь угодно близкие друг к другу, между ними можно поставить бесконечное количество иррациональных, то есть с бесконечным количеством цифр после запятой (грубо говоря)

[@ОлегАвдеев-р8л]

@@TheSnos15 , спасибо! Мне очень приятно, что вы ответили! Утверждение выше, конечно, следует из того, что вы теперь написали. Но, наверное, нынешнее утверждение тоже из чего-то следует. Для меня и оно не очевидно (т. е. как его показать, чтобы ясно стало, может, через бесконечные десятичные дроби Вейерштрасса?). Конечно, в первом видео курса был подробный разговор о всяких видах чисел, однако устойчивого понимания (именно понимания, а не просто уверенности) дискретности рациональных чисел не сложилось. Хотя, само существование иррациональных как-то подразумевает дискретность. Но почему такой шаг в обе стороны можно сделать, как вы отметили, "всегда"?

[@jackhammer631]

А почему мы не можем взять идею про отрезки для рациональных чисел? Получается, что есть рациональное число, которое мы не пронумеровали? В комментах пишут, что эта точка иррациональна. Но как это доказать?

[@alexeidubrovin5234]

допустим оно рационально, но 10 минут назад мы пронумеровали все рациональные числа, нельзя представить любое рациональное число, которого не было в той таблице, значит у него есть номер и мы пришли к противоречию

[@jackhammer631]

@@alexeidubrovin5234 стало только непонятнее)

[@ОлегАвдеев-р8л]

@@alexeidubrovin5234 , получается, что мы говорим о неверности одного доказательства в силу верности альтернативного, в справедливости которого не возникло слишком больших сомнений. Но если это действительно так, то несправедливое доказательство должно быть несправедливо и само по себе? Наверное, в нём должно найтись противоречие, но какое - пока не понятно, к сожалению. Вот этот вопрос как раз и интересует.

[@jyusup123]

После просмотра видео Голосова из автомобильного канала

[@REBOOT19]

еще можно сказать, что если считать все дроби от 1\2 и тд, то никогда не дойдем даже до 1, а значит мы не можем их посчитать все

[@Syllogist]

05-10. ЛОГИЧЕСКИЙ ФАНТАЗМ №10: БЕСКОНЕЧНЫЕ ПАРАДОКСЫ МНОЖЕСТВ: kzbin.info/www/bejne/q5mbmmhojZxsmpI

[@fullfungo]

Заметьте слово «МОЖЕМ». МОЖЕМ посчитать, значит что СУЩЕСТВУЕТ хотя бы один способ посчитать. Точно так же как мы МОЖЕМ найти корень уравнения x+2=5. Если бы мы ограничивались только примерами, то пример 7+2 ≠ 5 «доказывал» бы, что решения нет. Точно так же и здесь: вы привели *пример* но это не означает, что вообще нет способа их пересчитать.

[@user-bbohiv]

здравствуйте, не понял шутку, почему мы берем отрезки с длиной членов геом прогрессии с первым 1 и знаменателем 1/2 , как ето связано с рациональными числами и что значит?

[@HalfgildWynac]

Это способ показать, что "длина" всех рациональных чисел в каком-то смысле равна 0. Так происходит, потому что рациональные числа можно перенумеровать. Тогда можно отметить рациональные точки на числовой прямой, и первое число покрыть отрезком длины x, второе число - отрезком длины x/2, третий - отрезком x/4 и т.д. Но мы знаем, что x + x/2 + x/4 + x/8 + ... = x (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...) = 2x -в том смысле, что предел равен 2x То есть, какое бы маленькое мы ни взяли x, все рациональные числа на прямой можно покрыть отрезками с суммой длин 2x. (впрочем, обычно покрывают интервалами)

[@хейтер-д4з]

А почему мы вообще делим каждое следующее число на 2

[@АндрейИльичёв-к1л]

Ровно три года этому выпуску

[@airslax7]

Почему доказательство для действительных чисел нельзя применить для рациональных? Разве можно найти отрезок в котором нет рационального числа и который не придется дальше делить на 3 части, и можно будет переходить к следующему интервалу, т.к. в этом мы все рациональные пересчитали?

[@t_mm_r]

Присоединяюсь к вопросу

[@sergeyberdnikov8250]

@@t_mm_r Всё дело в том, что рациональные числа не обладают полнотой, то есть для них не выполняется принцип вложенных отрезков. Например, если взять систему вложенных отрезков вида [sqrt(2)-1/n, sqrt(2)+1/n], где n - натуральное, то каждый из этих отрезков содержит бесконечное число рациональных точек, но ни одна рациональная точка не принадлежит одновременно всем отрезкам.

[@Syllogist]

@@sergeyberdnikov8250 05-10. ЛОГИЧЕСКИЙ ФАНТАЗМ №10: БЕСКОНЕЧНЫЕ ПАРАДОКСЫ МНОЖЕСТВ: kzbin.info/www/bejne/q5mbmmhojZxsmpI

[@Syllogist]

05-10. ЛОГИЧЕСКИЙ ФАНТАЗМ №10: БЕСКОНЕЧНЫЕ ПАРАДОКСЫ МНОЖЕСТВ: kzbin.info/www/bejne/q5mbmmhojZxsmpI

[@ОлегАвдеев-р8л]

@@sergeyberdnikov8250 , но в ответе на комментарий kzbin.info/door/0PK05lUFr-O7D1VocBlhDQ "Борис Трушин, а иррациональные числа получается тоже не счётные или нет?" автор ответил "да", что, похоже, можно понимать как утверждение о несчётности множества иррациональных чисел. Но разве оно обладает полнотой? Например, если взять систему вложенных отрезков вида [2/3-1/n, 2/3+1/n], где n - натуральное, то каждый из этих отрезков содержит, похоже, бесконечное число иррациональных точек, но ни одна иррациональная точка не принадлежит одновременно всем отрезкам. И что с этим делать?

[@АлисаЦветкова-ъ4ф]

Борис Викторович, вопрос. Когда Вы считаете четные числа, Вы начинаете подсчет с числа 2. Ноль не учитывается. Не правильнее ли тогда начать подсчет с числа 0?

[@trushinbv]

Мы считали натуральные четные.

[@АлисаЦветкова-ъ4ф]

Поняла, спасибо))

[@REBOOT19]

Процентное соотношение рациональных чисел ко всем остальным стремиться к 0 с увеличением прямой)))поедет тут крыша, учитывая то, что ты 16 лет работал с почти несуществующими числами😅

[@МаксимМеснянкин-л6и]

Которую неделю не могу сопоставить точки плоскости (вещественые) и точки координатной прямой... Помогите, пж

[@ОлегАвдеев-р8л]

А проецировать нельзя?

[@DenD-k5p]

а так возможно посчетать все действительные числа? 0.0 1.0 -1.0 ... 0.1 1.1 -1.1 0.2 1.2 -1.2 ... ... ... 0.9 1.9 -1.9 0.01 1.01 -1.01 ... ... ... 0.99 1.99 -1.99 0.001 .................

[@trushinbv]

Тут же будут только конечные десятичные дроби вы так даже до 1/3 не доберетесь

[@konstantintretyakov3951]

Борис, большое спасибо вам за интересеую лекцию. У меня после нее возник вопрос, он немножко длинный, но ответ на него я сам найти не могу. Буду признателен, если вы найдете время ответить. Вопрос касается количества способов поделить любой отрезок на три части в любой пропорции -- т.е., как я понимаю, счетного множества таких способов. Множество способов поделить любой отрезок на три части (в любом соотношении) можно представить геометрически в виде равностороннего треугольника с высотой, равной длине отрезка. Тогда любая точка внутри данного треугольника, не лежащая на его сторонах, будет представлять один из способов деления отрезка-высоты на три, поскольку «сумма расстояний от произвольной точки внутри равностороннего треугольника до его сторон постоянна и равна высоте треугольника» (теорема Вивиани). То есть мини-высоты, проведенные из данной точки к сторонам отрезка, будут представлять собой три мини-отрезка, на которые разделяется отрезок-высота при каждом делении на три части.Таких точек внутри треугольника будет бесконечно много, что понятно, потому что способов поделить любой отрезок на три части тоже бесконечно много. Теперь на минуту представим себе, что у нас есть два отрезка, один длиной десять сантиметров, другой - двадцать, и для каждого из них мы ищем, сколькими способами мы можем поделить его на три части. Для этого мы строим два треугольника (с высотами десять и двадцать сантиметров) и убеждаемся, что один из них в два раза больше другого. Вместе с тем, количество способов поделить отрезок на три части можно посчитать, используя натуральные числа - то есть это, как я уже сказал, счетное множество для обоих отрезков. Из этого следует, что счетные множества равны между собой, и следовательно, для обоих отрезков существует одинаковое бесконечное множество способов разделить их на три части, несмотря на то что один из них в два раза длиннее другого. Теперь, собственно, вопрос: если множество способов одно и то же для обоих отрезков, то почему геометрические изображения этого множества (треугольники) так сильно отличаются друг от друга? Или я что-то неправильно понял/нарисовал?

[@shejnovgen]

Естесственно дело в отображении, в математике нет сантиметров или километров и треугольник с высотой 10 сантиметров равен треугольнику с высотой 10 двусантиметров, и счетное бесконечное количество точек в этих треугольниках равно, потому как у точки нет длины

[@konstantintretyakov3951]

@@shejnovgen спасибо за ответ. то есть площади разные, но количество точек одинаковое, так получается?

[@shejnovgen]

@@konstantintretyakov3951 площади разные, количество точек может и разное, но бесконечное, причем бесконечность счетная, когда считая от нуля до бесконечности вы до неё досчитаете вы увидите разницу между треугольниками с разной площадью, и не раньше, потому как в счетной бесконечности любой элемент можно посчитать, но это отнюдь не значит что можно посчитать все элементы, подумайте сами, если к бесконечности прибавить 20 она станет больше? а 200? а 2000? а еще одну счетную бесконечность? В случае с вашими треугольниками вы именно к одной счетной бесконечности прибавляете еще одну только и всего

[@konstantintretyakov3951]

@@shejnovgen понял, спасибо, что нашли время объяснить.

[@listik_bumagi]

Вы поломали мою логику

[@danyasaturn6195]

Это самые большие бесконечности которые я знаю

[@somebody198]

То есть действительных чисел на одно больше,чем натуральных?Или можно взять другой отрезок,который не содержит число C и так далее,и тогда действительных сильно больше натуральных?

[@ЮрійЯрош-г8ь]

Нет, их сильно больше чем натуральных, не уверен что это можно доказать так как ты говоришь. Если бы у тебя было счётное множество и ты добавил к нему один елемент новое множество тоже счётное. Ты можешь пронумеровать его так:новому елементу номер один, а всем другим старый номер плюс один. Так что если бы действительных было на одно больше они все равно были бы счетными.

[@МаксимДементьев-э5с]

БВ, здравствуйте, я кучу раз пересмотрел это видео, смотрел все предыдущие видео по матану, но никак не могу понять: вы сказали что в любом интервальчика есть рациональное число, что если мы берём рациональное число со знаменателем n, таким что 1/n меньше чем длина этого интервальчика, то точно в этот интервальчик попадёт число со знаменателем n. Как мы определяем длину интервальчика, ведь длина интервала это расстояние, значит получено вычитанием, например, одного числа из другого? Далее мы берём рациональное число и вешаем на него интервал 1, потом 1/2, потом 1/4 и т. д. Что за интервальчики, как мы определяем длину этих интервалов? И почему вешаем именно интервалы с длинами 1, 1/2, 1/4... 8:38-9:50

[@МаксимДементьев-э5с]

я понял короче что имеется ввиду

[@besbogov9489]

@@МаксимДементьев-э5с объясни пожалуйста

[@СмертьТупицам]

Т.е., доказательство сводится к установлению биекции между номером рационального числа n и отрезком вида 1/2^(n-1)? Так надо понимать?

[@СергейДавыдов-е3с]

Нет, доказательство сводится к самому установлению биекции.

[@Syllogist]

05-10. ЛОГИЧЕСКИЙ ФАНТАЗМ №10: БЕСКОНЕЧНЫЕ ПАРАДОКСЫ МНОЖЕСТВ: kzbin.info/www/bejne/q5mbmmhojZxsmpI

[@АндрейП-з8ц]

Когда нам такие вещи на уроках рассказывал наш математик в качестве дополнения к основному курсу, всем было пофиг, кроме меня и ещё пары человек.

[@trushinbv]

Так обычно и бывает (

[@vladimirstepanov7493]

А что, если покрыть прямую интервалом 1, 1/2, 1/3,1/4... ?

[@hunterzolomon2456]

Как я понял, тогда покроется вся прямая, т.к. гармонический ряд расходится.

[@gh-by9qj]

Тогда мы покроем абсолютно все действительные числа, то есть не только рациональные. Кстати, в рассмотренном автором случае мы покрываем не только все рациональные числа, а и другие тоже.

[@fullfungo]

@@gh-by9qj не обязательно *все* но точно можем сказать, что «бесконечно большую» часть.

[@danyasaturn6195]

[omega]^cm

[@ІлляРоман-п4р]

Ого, ого

[@oskardomnin3123]

Доказательство Притянуто за уши, оно не четкое - для Школьников. Сопоставим действительным числам на отрезке 0-1 следующий ряд: сначала пересчитаем все числа у которых после запятой 1 знак - их 10. Потом добавим к ним все числа у которых 2 знака - их 100, потом 3 знака - их 1000 и так далее. Получается, что какое бы действительное число Вы не написали, я всегда смогу указать его номер. Доказательство континуальности, приведенное последним, также подходит и для рациональных чисел. Естественно идеи Кантора правильны, однако рассуждения, приведенные автором нечетки.

[@fullfungo]

И какой же номер у 0,3333…?

[@Casino-bp2om]

Почему мы рассматриваем на 12 минуте 1; 1/2; 1/4; 1/8, а куда деваются рациональные числа 2/3; 1/6; 4/9 и тд?

[@fullfungo]

Так мы что хотим, то и рассматриваем😅 Почему бы не рассмотреть именно эти числа?

[@смсимсисмиси]

10/10

[@СамиАнкуд-ч9ф]

Подписывайтесь на канал, здесь говорят правду( вещаю истину) ;)

[@ЕвгенийБондаренко-з8я]

а нет в этой механике подсчета, некоего внутреннего противоречия, мы пытаемся считать числа другими числами, что если сама постановка вопроса не верна, ну скажем как нельзя возводить в действительную степень отрицательное число.. или что то подобное.. ?

[@Syllogist]

05-10. ЛОГИЧЕСКИЙ ФАНТАЗМ №10: БЕСКОНЕЧНЫЕ ПАРАДОКСЫ МНОЖЕСТВ: kzbin.info/www/bejne/q5mbmmhojZxsmpI

[@cheekibreeki904]

А должно быть? Ведь пересчитывая хоть числа, хоть деревья, хоть комментарии под видео, мы делаем именно это: сопоставляем натуральные числа с элементами пересчитываемого множества.

[@ЕвгенийБондаренко-з8я]

@@cheekibreeki904 ну если бы все так просто, то и ограничений быть не должно, все должно работать для всего.

[@cheekibreeki904]

@@ЕвгенийБондаренко-з8я если речь идёт о конечных и счётных бесконечных множествах, то всё именно так просто. Я не понимаю, где вы видите сложности.

[@ЕвгенийБондаренко-з8я]

@@cheekibreeki904 ключевое именно "вы не понимаете", может чего не хватает, может не разобрались в вопросе. тут я не помощник )

[@troitskyvsevolod2194]

А как доказательство несчëтности дейстительных чисел противоречит несчëтности рациональных

[@trushinbv]

Никак. Счетность рациональных мы отдельно доказали

[@troitskyvsevolod2194]

@@trushinbv я имел в виду, почему данное доказательство не работает для множества рациональных чисел? Ведь оно тоже бесконечное

[@trushinbv]

@@troitskyvsevolod2194 та точка "с", которую мы нашли могла оказаться иррациональной

[@troitskyvsevolod2194]

@@trushinbv Спасибо

[@Syllogist]

05-10. ЛОГИЧЕСКИЙ ФАНТАЗМ №10: БЕСКОНЕЧНЫЕ ПАРАДОКСЫ МНОЖЕСТВ: kzbin.info/www/bejne/q5mbmmhojZxsmpI

[@saito_in_china]

Это не тот парадокс , что про бесконечный отель , что не смог уместить всех ?

[@kushtarbekkydyruulu5039]

а что будет если на на прямой действительных чисел мы уберем все целые и рациональные числа, то есть оставим только иррациональные? что то мне подсказывает что прямая ни чуть не уменшится. А как ответить на вопрос в контрольном а) чему равно объединение множества рациональных чисел и множества натуральных чисел? и б) чему равна мощность такого объединенного множества?

[@fullfungo]

На первый вопрос у меня есть доказательство, но оно немного сложновато. Очевидно, что множество иррациональных не более множества вещественных. Теперь докажем и обратное, то бишь «покроем» все числа иррациональными. Зададим функцию f(.) на иррациональных числах следующим образом. f(q+ √2)=q для рациональных q. f(q+2 √2)=q+ √2 … f(q+(n+1) √2)=q+n √2 А для чисел, которые нельзя представить в виде q+n √2, определим как f(x)=x. Тогда f(.) из иррациональных чисел производит как рациональные, так и иррациональные числа. При чём: 1. Все рациональные числа q получаются из чисел q+ √2. 2. Все числа вида q+n √2 получаются из чисел q+ (n+1) √2. 3. Все остальные иррациональные числа x получаются из x. То есть f(.) переводит иррациональные числа во все вещественные. А значит иррациональных не меньше, чем всех вещественных. (Если бы их было меньше, то такой функции не могло бы быть, например нет функции из {1,2,3} в {1,2,3,4} которая бы давала все числа от 1 до 4).

[@fullfungo]

Вопрос а) очень простой. Все натуральные числа являются рациональными. А значит их объединение и есть множество всех рациональных. б) мы уже знаем, что мощность рациональных такая же как и у натуральных.

[@KeglyaR]

Пересматриваю зачем-то эти видео, возник вопрос - разве нельзя использовать метод доказательства из конца видео про иррациональные числа для доказательства, что так же нельзя посчитать и рациональные? Так то понятно, что их можно сосчитать, но вроде как таким методом можно доказать, что неьзя

[@fullfungo]

Так для рациональных чисел, может и не быть общей точки. [1;2], [1,4;1,5], [1,41;1,42] и т.д. для корня из 2 возьмите. Тогда общая точка - корень из 2. А он не рациональный. Значит, рациональной общей точки нет. Поэтому доказательство работает только для вещественных чисел.

[@dtihert]

В том и дело, что рациональные посчитать можно. Никак мы обратное не докажем

[@emo_kid_2006]

сейчас 3 часа 30 минут , ночь. через 5 часов семинар по матанализу. я понял что длина всей прямой рациональных чисел равна 2. можно идти спать.... з.ы. мифистам из будущего привет :)

[@nobodyisperfect4937]

интересно, что курил человек, который построил доказ-во, что множество R несчётно ?.....

[@stille3148]

?

[@cppenjoyer-m5i]

#ямысмотримматан

[@_MaiT]

ААА, не понимаюю, как можно сосчитать иррационалные чилса если их бесконечно много, раз их так много значит они несчетные, нет? И почему действительные числа не счентые если их столько же?

[@vvszel]

Можно к этому вопросу подойти с другой стороны, возможно менее строгой но наглядной. Каждое действительное число можно представить последовательностью цифр (например 0...9). Для рациональных чисел это последовательность конечная (период в скобочках...), для других, например pi, e, sqr(2)... бесконечная (счётная). Поэтому попытка пересчитать действительные числа повиснет на первом иррациональном.

[@trushinbv]

Почему повиснет на первом иррациональном? Кто мешает сказать, что пи - это первое число?

[@Феноменально-й6л]

0:55 Но ведь есть доказательства, что натуральных, целых, чётных и нечётных чисел одинаковое количество (множества равны по мощности)

[@trushinbv]

Есть. Даже в этом ролике есть )

[@Феноменально-й6л]

@@trushinbv зазря наехал, дальше посмотрел. Отличное видео

[@evgenius3069]

Сделайте интервальчики равными 1 или самому рациональному числу и покроете всю числовую ось ; )

[@ttahat]

Про Множество всех действительных чисел несчетно не понял(( И в интернете нигде не объясняют простым языком(

[@trushinbv]

Чтобы понять нужно посмотреть предыдущие ролики. В частности про принцип вложенных отрезков: kzbin.info/www/bejne/qXnXdoKqrN2pgbM Можете еще здесь посмотреть: kzbin.info/www/bejne/bpaThqysnql1rqc (тут несколько иной подход, через десятичные дроби)

[@ttahat]

@@trushinbv я так и сделал и наконец вник, спасибо огромное за вашу работу)))

[@trushinbv]

@@ttahat, здорово )

[@Syllogist]

05-10. ЛОГИЧЕСКИЙ ФАНТАЗМ №10: БЕСКОНЕЧНЫЕ ПАРАДОКСЫ МНОЖЕСТВ: kzbin.info/www/bejne/q5mbmmhojZxsmpI

[@cheekibreeki904]

Объяснение от Vsauce показалось мне достаточно простым и понятным.

[@animanoir777]

Пересматриваю кусок 9:18-11:07 уже третий день и не понимаю, в чем обоснование такого разделения на отрезки и почему в числителе всегда 1. Про "тыкнуть циркулем в случайную точку и не иметь шансов попасть в рациональное число" интуитивно понятно, но вот доказательство этого и такой способ вычисления "длины точек"(или что это было ) совершенно не укладывается. Было бы здорово посмотреть подробное видео на эту тему (может кто знает, где такое есть) или где-то прочесть конкретно об этом. PS Спасибо за Ваши видео!

[@1188067]

глупый вопрос, наверное - а можно преобразовать несчетное множество (континуум) в счетное и наоборот. Есть такая операция? Если да - опишете условия?

[@fullfungo]

«Преобразовать» это как-то непонятно, что имеется в виду. Есть например функция floor(x), так же пишется ⌊x⌋. Для каждого числа она даёт округление вниз до целого. То есть floor(3)=3, floor(4.7)=4, floor(-1.1)=-2. Я не знаю, что вы имеете в виду под «преобразовать», но функция floor(.) каждому вещественному числу сопоставляет целое. Так что есть преобразование из континуума в счетное множество.

[@relarek]

Можете объяснить, почему когда вы сопоставляете рациональным числам интервалы (и вообще как это возможно, ведь число не есть интервал) они уменьшаются в 2 раза?

[@ЮрійЯрош-г8ь]

Что мешает тебе сопоставить рациональным числам интервалы? Уменьшаются в два раза чтобы их сума сходилась.

[@ЮрійЯрош-г8ь]

Функция может сопоставить не только числа числам, но и любые другие объекты.

[@MrKesseker]

@@ЮрійЯрош-г8ь разве это не потому, что двигаться можно влево и вправо по оси? Значит, содержание интервала, по основной теореме Дедекинда, будет распределен в 2 множества.... В 2 МНОЖЕСТВА из 1 МНОЖЕСТВА. По-моему по-этому)

[@ЮрійЯрош-г8ь]

@@MrKesseker Извините, не очень понял что вы имели ввиду?

[@MrKesseker]

@@ЮрійЯрош-г8ь ну, допустим, есть число 4, это на числовой прямой может быть 2, чтобы до нее было 2 значения, и после

[@DruidMoonkin1]

Борис, поправьте меня, где я не прав. Что-то несоответствие какое-то. Ведь стяг. с-ма вложенных отрезков определяется через натуральные числа, что найдется такое n принадлежащее N, что an-bn < eps, да и при условии что eps стремящимся к нулю у нас эта точка одна. Получается что касаемо этого примера у нас есть номер для этой точки c n-тая. Какое-то нехорошее доказательство с моей точки зрения.

[@АлексейФролов-щ2в]

А давайте ещё комплексные попробуем посчитать... :-D

[@prjctsigma]

Тупо учусь на ФОПФе, спасаете, как можете. Коллок завтра.

[@trushinbv]

Половина тем коолока есть на канале )

[@maximsol6227]

Но в итоге коллок ты все равно завалил/

[@aakh3500]

Вот когда вы говорите про возьмем интервальчики - вы намеренно берете быстро убывающую последовательность, что вам мешает взять гармоническую последовательность (1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5)? картинка сразу радикально изменится

[@КириллБезручко-ь6э]

что значит намеренно? мы хотим показать, что можем покрыть ВСЕ рациональные сколь угодно суммарно малым отрезком. нет ну мы можем покрыть каждое рациональное и единичным отрезком, ну и что? суть же в том чтобы показать что достаточно сколь угодно малой длинны. то что можно и большей покрыть нам не о чем не говорит

[@aakh3500]

@@КириллБезручко-ь6э, я несогласен когда говорят, что иррациональных чисел сильно больше чем рациональных, то что множество рациональных чисел всюду плотно в R резвеивает это заблуждение

[@kolyazimorodkoff9930]

Думаю стоит пересмотреть взгляд на точки отсчёта к бесконечно большому и бесконечно малому. Математика всё это описывает и лишь приближает к точности доступной пониманию. Наверное стоит рассмотреть многомерное пространство .

[@МихаилСучков-п4ц]

У меня вопрос. Множество четных ведь всегда с 0 начинается, хотя везде вижу именно такой пример как у вас. И доказательства в интернете такие, что множество четных чисел = 2n, n принадлежит N, но если с 0 начинается то это неверно. Я чего-то не понимаю? Или у них неверные доказательства? А вообще мне нравится как вы все обьясняете) Все сразу понятно стало, вы крутой)

[@agrd6762]

Ну, это всё условность. Для однозначности нужно, конечно, указывать, что имеется в виду. Ноль сейчас всё чаще относят к натуральным числам тоже, так удобнее для некоторых доказательств, но не все. Нужно уточнять, что конкретно имеет в виду каждый автор. В математике тоже неоднозначные термины присутствуют.

[@kirillonf.m.4713]

3:36 Чётные положительные

[@electron252]

"...2,-2,3,-3 и ТАК ДАЛЕЕ, мы выписали ВСЕ целые числа". А правильно ли ссылаться на некий алгоритм для выписывания бесконечного множества чисел, если он никогда не завершит свою работу и утверждать что мы их все-таки выписали? Ведь в любой момент времени когда он выпишет число n, останется еще бесконечное число не выписанных чисел > n. А если работа по выписыванию целых чисел никогда не завершится и всегда останутся еще не выписанные числа, то что мешает прийти к выводу, что множество целых чисел такое же несчетное как и множество действительных?

[@trushinbv]

Вы можете в явном виде указать "номер" каждого целого числа

[@fullfungo]

Так можно переформулировать в конечный алгоритм. Для числа 0 он вернёт 0, для +n, вернёт 2n-1, а для числа -n даст 2n. Этот алгоритм каждому числу даёт уникальный «номер» в последовательности.

[@dtihert]

@@fullfungo ну, Вы можете так сделать. А разница?

[@Kurumi-n9v]

Может я немного не понимаю, но: Берем и сдвигаем ряд действительных чисел на единицу вправа, ставим точку С на первое место и тем самым получаем то, что мы посчитали все действительные числа - каждому действительному числу есть сопоставимое натуральное, включая даже точку "С".

[@dtihert]

Так их по-прежнему столь-ко же останется Мы их не пронумеровали, а просто единицу прибавили

[@ТамараМасловская-и2у]

Ждём доказательство факта, что множество алгебраических чисел равномощно рациональным

[@trushinbv]

Есть же. «Как дотянуться до континуума», кажется, называется