信州大 連立漸化式

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[@nonchinkan1]

連立漸化式を解こうともしましたが、後半の方法でできそうだったのでそれを採用しました。前半の方法も勉強になります。今日もありがとうございました。

[@user-hl7de2ww5t]

ジャンパーで今年初めて塾へ行く 　苦肉の策で、１から実験しました。１と−１の繰り返しになったので、ｎが奇数のとき１、偶数のとき−１としました。勉強になりました。どうも、ありがとうございました。 　２月まで、着ていたが。

[@coscos3060]

出題者は後半の解法を期待されたんだと思いますが、前半のはいい鍛錬になります。

[@randomokeke]

先週上田市へ行きました。味噌の焼き鳥美味しかったです。

[@yamachanhangyo]

この問題、一目見て『もしかしてそのまんまドンと代入すれば一直線？』…と思ったら、まさかそれだったとはｗ …とはいうものの、いつもいつもそんな都合の良い？問題が出るとも限らないので、前半の解法も否定するもんでもないかな… 多分、どっちの解法でも出来るように演練しておくのがいいのでしょうねぇ。

[@kiss_off]

動画とほとんど同じです。 答えが予測できましたので、数学的帰納法をつかいました。 nを自然数、A(n)=(x(n))^2-2(y(n))^2 として、 （計算は省略します） A(1)=1, A(2)=-1, A(3)=1, A(4)=-1, ... から A(n)=1（n が奇数） A(n)=-1（n が偶数） と推測できる。 n=1, 2 のときに上記は成り立ち、n=k+1 のとき A(k+1)=(x(k+1))^2-2(x(k+1))^2 =(x(k)+2x(k))^2-2×(x(k)+y(k))^2 =-{(x(k))^2-2(y(k))^2}=-A(k) が成立する。 以上のことから自然数nについて A(n)=1（n が奇数） A(n)=-1（n が偶数） は成立する。

[@springside40]

こういうのは、高齢おじさんの私としては、行列を使って解いてしまいたくなります。 それにしても、大学に入ってすぐに線型代数を学習することを踏まえると、現在の高校数学から何故か行列がなくなってしまっているのは不満ですね〜（と言うか、高大接続の観点からは大いなる害悪だと思う）。大学の先生にしても、行列を全く知らない1年生に初歩から教えなければならないのは苦痛なんじゃないでしょうか。

[@みふゆもあ]

解けました〜😊 ペル方程式っぽいヤツなので、ピピっときました〜！💡✌️🎉❤️

[@vacuumcarexpo]

ペルッ❗

[@みふゆもあ]

ペロペロっ！🍄

[@teketeke9487]

おはようございます。求める数式は (Xn + √2*Yn)(Xn - √2*Yn) と因数分解できるので、Xn, Yn の2番目の条件式は、いかにも√2を掛けたくなりますね。

[@vacuumcarexpo]

ヨシッ❗ 紙吉。 ※行列の成分は、左上→右上→左下→右下で書く事にする。 係数行列（1，2，1，1）は、（1，0，0，1）＋（0，2，1，0）と書ける。 （1，0，0，1）は、単位行列E。 （0，2，1，0）を行列Aと置くと、係数行列は、E＋A。 ここでA^2＝2Eなので、Aは言わば、√2Eとでも言うべき行列。 （E＋A）^nを考えると、ここに出てくる行列EもAも全て可換なので、 （E＋A）^n＝a［n］E＋b［n］A と置くと、その係数a［n］とb［n］は、 （1＋√2）^n＝a［n］＋b［n］√2 の係数a［n］、b［n］と一致。 なので、 a［n］＝（（1＋√2）^n＋（1－√2）^n）／2 b［n］＝（（1＋√2）^n－（1－√2）^n）／（2√2） 与漸化式より、 （x［n］，y［n］）＝（1，2，1，1）^（n－1）×（1，0）なので、 x［n］＝a［n－1］ y［n］＝b［n－1］ になってますね。

[@user-vs5st6to5m]

ようやく追いつきました…🥵 本日の問題は、僕も最後の方法で解きました！（連立漸化式の解き方を忘れていました…😅）

[@kosei-kshmt]

もう少しで十両というところだった。危なかった!(笑)

[@user-vs5st6to5m]

​@@kosei-kshmtお久しぶりです🌟しばらく空くと、あっという間に抜けができますね😅また鉄砲などの基礎からじっくり取り組みたいと思います!!

[@user-lb6gw4xi2n]

連立漸化式という事でどうなるのかと思いましたが、またあっさり解いていましたね。ついて行けたけど、漸化式はやっぱり分からん。いつか漸化式についてレッスンをお願いします

[@CHOCEEE]

鈴木先生のプレイリストに２００問くらいありますよ。

[@hikasaku39]

n=4まで試し、(-1)^n-1を推測。 数学的帰納法、で解きました。

[@peacefuljapans6286]

連立漸化式とはいえ、線形なら力づくでやれば解ける！ …と思ってやったら、答えが公比-1の等比数列形になったので、このカラクリに気が付きましたw こういうところが、大学受験はもう十ン年前のことという年齢になって、勘が鈍ったと感じるところですww

[@PC三太郎]

連立漸化式そのものを解くのではなく、それを用いた新たな数列の漸化式を解けという問題ですね。 連立漸化式そのものを解いても数学的には正しいですが、最終目標からして時間の無駄になっていまいますね。

[@user-ky2mg8pc9c]

｢先を読み　手順を踏み　解決す｣　別解の解説にも感謝します。

[@mskunichika]

n=1のとき、解答の式が成立することを言わないといけないのでは？

[@PC三太郎]

動画のような隣接2項間漸化式（連立漸化式ではないです。）を解く際にはn=1の時云々を確認する必要はないですね。 階差型漸化式を解くなら、階差数列からもとの数列を求めることとなるため、n=1のとき云々の確認がいります。

[@KT-tb7xm]

上の式を①，下の式を②として ① + √2 * ② ① - √2 * ② をそれぞれ計算すれば x[n + 1] + √2 y[n + 1] = (1 + √2) * (x[n] + √2 * y[n])　③ x[n + 1] - √2 y[n + 1] = (1- √2) * (x[n] - √2 * y[n])　　④ ここで A[n] = x[n] + √2 * y[n] B[n] = x[n] - √2 * y[n] と置けば，③，④はぞれぞれ A[n + 1] = (1 + √2)A[n]　⑤ B[n + 1] = (1 - √2)B[n]　⑥ という単なる等比数列の漸化式に変わるので，A[1] = B[1] = 1に注意すれば A[n] = (1 + √2)^(n - 1) B[n] = (1 - √2)^(n - 1) これらを掛けたA[n] * B[n]が答えなので(- 1)^(n - 1) と求めました。

[@coscos3060]

オー、簡潔かつスマート！

[@KT-tb7xm]

@@coscos3060 さん ありがとうございます😄 普通に解くと面倒なのと今日は有給で時間があったので， なんか面白い解き方ないかなと探してここに行き着きました😄

[@teketeke9487]

同じ解法でしたね。 求める式の形と、条件式の形（係数）を見ると、比較的自然なアプローチだと思います。。

[@KT-tb7xm]

@@teketeke9487 さん ご返信ありがとうございます🙏 そうなんですよね 一般項じゃなくて式の値を問われてるので、そっちに寄せようとするとこんな感じかなと🤔

[@lycheegouka7211]

全くの余談ですが、Zn=(xn*yn)^2 とおくと、 Znは、三角数であり、かつ平方数であるような数が得られます。 理由はわかりません。 1,36,1225,41616…………

[@みふゆもあ]

本問題の解答からあきらかなの😉 x(n)^2±1=2y(n)^2より (x(n)^2)×(y(n)^2)=(1/2)(x(n)^2)((x(n)^2)±1) 連続２数の積の半分だから三角数。 もともとが２数の平方の積なんだから平方数✌️