Criteri di integrabilità : caso su intervallo illimitato .Stabilire se l'integrale improprio esiste

Criterio di integrabilità : Stabilire se un'integrale improprio esiste finito o meno senza calcolare l'integrale improprio .
In questa seconda lezione inerente i criteri di integrabilità , stabiliremo se un integrale definito con dominio di integrazione illimitato , esiste finito o diverge .
Il criterio è analogo a quello visto nella prima videolezione e tutto dipende dal confronto di una funzione infinitesima (all''infinito) con una funzione campione anch'essa infinitesima per x che tende all'infinito .
Anche in questi casi eviteremo di calcolare l'integrale improprio dal momento che si richiede solo se l'integrale improprio esiste finito o meno.Anzi a livello didattico spesso e volentieri la funzione integranda è piuttosto complessa e impossibile da integrare con i metodi elementari .
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[@flavioerrico8965]

Salve professore, come sempre di una chiarezza unica. Il teorema può essere usato anche se l'intervallo è [-infinito,infinito]?

[@salvoromeo]

Buongiorno , certamente .Consideri l'integrale esteso a tutto R di (cos(x) ) /(x⁴+1) .Questo esiste finito anche se gli estremi di integrazione sono ]-infinito,+infinito [

[@flavioerrico8965]

@@salvoromeo la ringrazio infinitamente

[@ste6813]

Salve professore, quindi se alfa è uguale a 5/2 si può dire che diverge ? Di conseguenza quando alfa tra 1 e 5/2, si può dire che è convergente ? Grazie

[@salvoromeo]

Buongiorno Stefano .Attenzione all'interpretazione che si dà al parametro alpha . Se esiste almeno un valore di alpha maggiore di 1 , tale che il limite del rapporto tra le due funzioni sia uguale a zero o un numero finito allora l'integrale converge .In questi caso poiché il limite è convergente per dei valori di alpha compresi tra 1 e 5/2 possiamo certamente dire che l'integrale è convergente e quindi esiste finito .

[@alessiofior9093]

Salve professore, la tecnica nell’utilizzare la funzione campione si può usare sempre per studiare la convergenza di integrali impropri?

[@salvoromeo]

Buonasera Alessio si solitamente ci si riporta o alla funzione campione 1/x elevato a alpha , oppure in certi casi si fa il confronto con la funzione esponenziale decrescente .

[@alessiofior9093]

@@salvoromeo grazie mille

[@francescomariano8693]

salve professore, molti esercizi chiedono di dire se la funzione sia integrabile in un dato intervallo, posso utilizzare questo procedimento con alfa?

[@salvoromeo]

Buongiorno , se si tratta di integrale "definito " si tratta sicuramente di un integrale generalizzato o improprio .Lo noterà poiché o al Eno uno degli estremi di integrazione è un "infinito" oppure se gli estremi di integrazione sono numeri reali deve controllare che in detto intervallo [a,b] vi è qualche punto di discontinuità . In questo casi bisogna applicare i metodi introdotti in queste due lezioni . Attenzione però ... ci sono esercizi in cui viene chiesto di determinare la primitiva (quindi integrale indefinito) in un dato intervallo .In questo caso la cosa è differente e rimando eventualmente a questa lezione m.kzbin.info/www/bejne/b4a8ZKerpdl6b80

[@marcob6625]

Salve prof. Al minuto 13 ha fatto un esempio in cui con alpha>1/2 il limite tende ad un valore finito, affermando infine che ci vanno bene i valori di alpha>1 e quindi f(x) risulta integrabile. In questo caso però esistono valori di alpha compresi tra 0 e 1 in cui il limite equivale ad un numero reale (i valori tra 1/2 e 1). Allora perché afferma che f(x) è integrabile, dato che nell esempio rispetta anche le ipotesi della casistica di divergenza?

[@salvoromeo]

Buon pomeriggio. Attenzione che non deve intendere i valori di alpha "esclusivamente" maggiori di 1 , ma è importante che ci sia almeno un valore di alpha >1 che rende il limite finito (anche zero ) . Quindi l'insiene deili valori di alpha>1/2 va bene poiché include i valori di alpha >1 . Andrebbe bene anche se il lite dovesse essere finito (anche zero ) per valori compresi tra (1/2,5) poiché include dee valori tra 1 e 5 . Non va bene invece se il limite è finito o zero "esclusivamente per i valori compresi tra (1/2, 1) ad esempio .

[@francescocipriani8888]

Prof nell’ integrale tra 2 e +infinito di e^(-4x^3) , usando il confronto asintotico posso dire che e^(-4x^3) è asintoticamente equivalente a -4x^3 , però poi L’integrale diverge invece dovrebbe convergere , cosa sbaglio?

[@salvoromeo]

Buonasera Francesco .Assolutamente no . e^t (per anche tende a +-infinito ) non è asintotico a t . In questo caso la questione è molto semplice .L'esponenziale tende a zero molto velocemente o in termini più rigorosi l'esponenziale e^(-t) per t che tende a +infinito è un infinitesimo di ordine superiore di qualsiasi funzione del tipo 1/(t^a) con a>1 quindi l'integrale scritto da te converge sicuramente .

[@francescocipriani8888]

@@salvoromeo Perfetto grazie per la risposta. Prof le avevo scritto anche sotto il video di uno studio di funzione perché avevo un dubbio , glielo ripropongo qui la funzione : f(x) = sqrt(x^2 + 3x) - |x| ha come massimi i punti x=0 e x=3 , perché nella soluzione di questa tema d’esame c’è scritto che sono minimi locali , però in 0 e 3 la derivata non è definita quindi non dovrebbero essere punti di massimo , può aiutarmi?

[@marcosisto8762]

riguardo al teorema del confronto, ho letto che se f è O-grande di g, e g è sommabile attorno a c (ad esempio), allora anche f è sommabile attorno a c. Quindi, in teoria, la contronominale sarebbe "f non sommabile attorno a c implica : (f non è O-grande di g) V ( g non è sommabile attorno a c) Quindi mettiamo che io debba studiare l'integrale generalizzato di una funzione g, e SO che la funzione f, che non è sommabile attorno a c, è anche O-grande di g: l'unica possibilità rimasta è che g non è sommabile attorno a c e quindi l'integrale non è finito. Giusto?

[@roccorosa2080]

Professore salve. Potrebbe aiutarmi? Io ho [2e^x-1]/[e^x-2e^-x-1] da integrare da -infinito a 0. Ho fatto in primisi il limite a -inifinito e mi esce 0. A questo punto che devo fare? Perchè io devo cercare di avere, come avete fatto nel video, un valore di alpha. Però in questo caso, dato che la funzione presenta solo e^x, che devo fare? Come posso, trovare alpha? E dire che converge o diverge l'integrale?

[@salvoromeo]

Buongiorno Rocco , in questo caso la funzione è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a qualsiasi funzione campione del tipo 1/x ^a , quindi sarà integrabile senza problemi .per quanto riguarda. (Meno ) infinito

[@roccorosa2080]

@@salvoromeo così, se io faccio il limite della mia funzione e questo limite mi esce 0(considerando sempre il caso di un integrale da [a, +infinito[ ) posso subito scrivere che converge?

[@salvoromeo]

@@roccorosa2080 assolutamente no .Se fa zero non è detto assolutamente che converge .Bisogna fare sempre il confronto con la funzione campione e confrontare l'ordine fine di infinitesimo

[@roccorosa2080]

@@salvoromeo però in quel caso avrei lim di x alla alpha per il lim della mia funzione. Dato che so che quel lim fa zero, come faccio a trovare il valore di alpha, dato che la funzione si presenta solo con e^x?

[@ardooneer]

Salve, sarebbero possibili lezioni private online?

[@salvoromeo]

Buonasera .Certamente , solo lezioni individuali .Si senta libero di scrivermi alla seguente e-mail [e-mail] e Le darò il mio numero di telefonino.

[@bella-rp2rw]

questa cosa che il limite deve essere 0 o l=R è perche 1/x^alpha sara dello stesso ordine di infinito con la funzione f(x) oppure sarà un o-piccolo rispetto 1/x^alpha,percio' è come se fossero a grandi linee la stessa cosa e quindi se ne deduce la convergenza/divergenza,ho detto male professore?

[@salvoromeo]

Esatto è molto simile al criterio del confronto asintotico usato per le serie tanto per fare un'analogia .

[@FailMan88]

Scusi non ho capito un particolare; se il limite del confronto con la funzione campione mi esce 0 per valori di alpha>1 arrivo alla conclusione che la funzione integrale è integrabile ma nel grafico ci sarà un asintoto orizzontale di valore l a cui la funzione tende oppure la funzione tenderà a 0 sull'asse delle ascisse?

[@salvoromeo]

Buonasera si tratta sempre di funzioni infinitesime per x->+infinito quindi di conseguenza il limite tende a zero .

[@FailMan88]

@@salvoromeo grazie mille.

[@mircogiorgi3040]

Salve come si chiama questo teorema?

[@matteo4460]

ma alfa non dovrebbe essere compreso tra 1

[@salvoromeo]

Salve Matteo ,rettifico la risposta dopo aver visionato il video con calma .Le confermo che il valore massimo è 5/2 e non 3/2 . La cosa importante è che alpha non sia uguale o maggiore di 5/2 .

[@salvoromeo]

Quindi in rettifica del mio commento precedente , Le confermo che il valore di alpha deve appartenere a ]1,5/2 [ come ho dichiarato nel video .È ovvio che il valore 3/2 è un valore lecito , ma posso spingermi fino a 5/2 escluso .

[@matteo4460]

@@salvoromeo ok grazie mille, ci sono altri video simili a questo o di integrali convergenti con parametro?