Как разложить на множители выражение a^3+b^3+c^3−3abc?

Разложить на множители выражение a^3+b^3+c^3−3abc.
Для решения задачи используем элементарные приёмы: применяем формулы сокращённого умножения (сумма кубов, разность квадратов), используем группировку, выделяем полный квадрат, выносим общий множитель за скобки, выполняем тождественные преобразования.
Полученное тождество можно использовать для вывода формулы Кардано для нахождения корней кубического уравнения.

[@slshr]

красиво. Я в тупую предположил, что a+b+c будет одной из скобок, и поделил всё выражение на a+b+c в столбик

[@FrolovSergei]

Да, это вполне разумное предположение с учётом того, что исходное выражение инвариантно относительно перестановок a, b, c, так что a, b, c в этом смысле равноправны. Спасибо за просмотр и за комментарий!

[@user-qq8kp5cw8x]

Какой же вы харизматичный

[@FrolovSergei]

Спасибо!

[@user-hz5ne2rl5e]

В 1980г на устной части вступительного экзамена на мехмат МГУ было задание с доказательством неравенства. Один из красивых способов доказательства этого задания - применение выражения на видео . Задание было такое. Доказать, что cuberoot(3-cuberoot(3))+cuberoot(3+cuberoot(3)) < 2cuberoot(3)

[@krv76]

f(3-x) + f(3+x) < 2f(3) для всех 0

[@user-hz5ne2rl5e]

@@krv76 Для доказательства неравенства с применением свойства выпуклости или вогнутости функции на устном экзамене могли попросить привести общее доказательство. В частности доказательство неравенства Йенсена методом математической индукции. Потому что не было этого в школьной программе. Проще доказать известное тождество a^3+b^3+c^3-3abc=1/2(a+b+c)((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2) ((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2)>=0, тогда a^3+b^3+c^3-3abc и a+b+c оба положительные или оба отрицательные. И положим a= cuberoot(3-cuberoot(3)), b = cuberoot(3+cuberoot(3)), и c = - 2cuberoot(3) . Тогда легко доказать. (cuberoot(3-cuberoot(3)))^3+ (cuberoot(3+cuberoot(3)))^3 + (- 2cuberoot(3))^3 - 3(cuberoot(3-cuberoot(3))* cuberoot(3+cuberoot(3))*(- 2cuberoot(3))) < 0

[@-wx-78-]

Видел такую формулу у Дж. Карра (“Synopsis of Pure Mathematics”, 1886). Там много всякого занятного.

[@user-fr4dv1pe6g]

Есть другой способ: a^3 + b^3 + c^3 - 3abc Прибавим и вычтем выражение 3a^b + 3ab^2 - в итоге получается: (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) + c^3 - (3a^b + 3ab^2 + 3abc) Первое выражение в скобках есть куб суммы) Если из выражения -(3a^b + 3ab^2 + 3abc) вынести общий множитель за скобки, то получится выражение -3ab(a + b + c) Таким образом, a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b)^3 + c^3 - 3ab(a + b + c) Оказывается, первые два слагаемых как раз при разложении на множители порождает множитель a + b + c ;) Сумма первых двух слагаемых = сумма кубов, поэтому (a + b)^3 + c^3 = ((a + b) + c)((a + b)^2 - (a + b)c + c^2) = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - ac - bc) Значит, a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b)^3 + c^3 - 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - ac - bc) - 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)

[@romank.6813]

Решение, понятное дело, правильное. Но какое-то не сильно красивое. А не следует ли делимость означенного выражения на a+b+c просто из свойств группы C3v? Можно крутить abc->cab->bca (вращения вокруг оси C3) и менять местами любые пары, например ab->ba (отражения в плоскостях, проходящих через ось), без изменения значения a^3+b^3+c^3-3abc. Значит оно инвариантно по отношению к преобразованиям группы и должно вроде как делиться на неприводимое представление a+b+c. Да, и с Новым Годом, конечно же!

[@konstantinshcherb]

ну a^3+b^3+c^3 тоже при всех перестановках сохраняется, но не делится на a+b+c

[@romank.6813]

@@konstantinshcherb Утверждение состоит в том, что если выражение на что-то делится, то делитель тоже должен быть инвариантен по отношению к групповым преобразованиям. А из линейных это только a+b+c. Ну, а раз сказано "разложить", то делится точно.

[@konstantinshcherb]

​@@romank.6813 ну там надо чтобы набор всех делителей был инвариантен, а каждый делитель в принципе видимо не обязан, например (a+b)(b+c)(c+a)=T_(2,1,0)+2abc вполне себе симметричное

[@konstantinshcherb]

но вообще, видимо, приведённый пример вместе с abc единственные, когда симетричное выражение третьей степени от трёх переменных раскладывается, но не делится на (a+b+c), что действительно можно понять из мыслей о том что набор простых множителей должен быть симметричным

[@FrolovSergei]

Спасибо за поздравление! Счастливого Нового Года Вам!