Как найти сумму степенного ряда с общим членом x^(3n)/(3n)!, где n изменяется от 0 до ∞?

Найти сумму степенного ряда с общим членом x^(3n)/(3n)!, где n изменяется от 0 до ∞.
Сначала устанавливаем область сходимости исходного степенного ряда с помощью признака Даламбера сходимости рядов. Известно, что степенные ряды можно любое число раз дифференцировать почленно внутри их промежутков сходимости. При почленном дифференцировании рядов их радиусы сходимости не изменяются.
Для решения задачи посредством почленного дифференцирования степенных рядов получаем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида, которому удовлетворяет искомая сумма ряда. Ставим для этого уравнения задачу Коши и решаем её.

[@autolightview]

Отлично что нашел этот канал и могу восстановить университетские остатки знаний по диффурам, рядам и прочему. Это и расслабляет и напрягает одновременно. Спасибо за контент

[@FrolovSergei]

Вам спасибо за просмотр и за отзыв!

[@AS_tutor]

Здорово! Спасибо)

[@FrolovSergei]

На здоровье! И Вам спасибо за просмотр!

[@Hmath]

Отлично! :) я как-то тоже такую штуку делал, но с (4n)! в знаменателе :)

[@FrolovSergei]

Спасибо! Ого, то есть вверху тройка, а внизу четвёрка? Ну, это уже другой, более высокий уровень сложности!

[@Hmath]

@@FrolovSergei с (4n)! в знаменателе диф. уравнение даже проще получается (у него решение более симметричное) :) А в числителе у меня были числа Фибоначчи (с четными номерами в квадратах), но это тоже не усложняет :)

[@FrolovSergei]

​@@Hmath А, понял. И уже нашёл соответствующий ролик на канале @Hmath! 🙂

[@andreybyl]

Кайф, и как всегда исчерпывающе подробное решение, не оставляющее никаких вопросов и недопонимания, хотя и требующее базовых знаний теории обыкновенных дифференциальных уравнений . А решить в общем виде, не для 3, а для любого натурального параметра?)

[@alfal4239]

Точно так же. Корнями характеристического уравнения являются корни из единицы.

[@FrolovSergei]

Спасибо за отзыв! Как здесь уже было сказано, для любого конкретного значения параметра получить решение можно. Но не уверен в том, что можно получить общее решение в виде какой-нибудь не слишком громоздкой функции, зависящей от данного параметра...

[@aitymbetrakhmetullayev]

красиво

[@FrolovSergei]

Спасибо!

[@elenachinaeva1398]

Уважаемый Сергей! Подскажите, пожалуйста, как доказать неравенство: дробная часть выражения (n×корень из 2) больше, чем единица, деленая на (2×n×корень из 2) при любом натуральном n

[@FrolovSergei]

Уважаемая Елена! Вряд ли я Вам сходу смогу подсказать. Давайте так. Если я эту задачу решу, то Вам об этом сообщу.

[@elenachinaeva1398]

@@FrolovSergei Буду очень признательна. Задали на дом в матклассе.

[@alfal4239]

n√2 = k + t --> t = (2n^2 - k^2) /(n√2 + k) > 1/(n√2 + n√2 )

[@Danila_Klimov]

​@@alfal4239А как получилось последнее неравенство?

[@alfal4239]

@@Danila_Klimov 2n^2 - k^2 >= 1, n√2 + k < n√2 + n√2 - с этим согласны?

[@romank.6813]

А это-таки не e^3x? Ой-вэй, щас засмотрю.

[@victorf588]

y```=y - решением в том числе является exp(x). Почему же оно отсутствует в общем ответе?

[@FrolovSergei]

А я общего решения уравнения y```= y и не находил! Я решил в общем виде другое уравнение. А из того, что искомая функция удовлетворяет обоим уравнениям, не следует, что эти уравнения эквивалентны.

[@andreybyl]

Для уравнения второго порядка, которое предпочел автор, есть возможность легко сформулировать задачу Коши, решение которой единственно. А для уравнения третьего порядка, соответствующая Коши, которую наверное можно как-то поставить, может и вовсе не будет иметь решением exp(x)

[@FrolovSergei]

@@andreybyl Да, конечно, для д.у. 3-го порядка тоже можно сформулировать задачу Коши. Добавится начальное условие y'''(0)=0. Общее решение этого уравнения будет отличаться от общего решения однородного д.у. 2-го порядка, найденного в ролике, только дополнительным слагаемым C3∙e^x. Придётся решать уже СЛАУ 3-го порядка относительно C1, C2, C3. В результате C1 и С2 получатся те же, что и в ролике, а С3 будет равно 1/3.

[@user-zj7xv3ee9i]

Как мы пришли ко второму y''+y'+y=e^x ? Не совсем понял как так хитро сложить 3 ряда

[@FrolovSergei]

Ну смотрите. Общий член каждого из трёх рядов обладает таким свойством: степень x совпадает с аргументом факториала, стоящего в знаменателе. Точно таким же свойством обладает и общий член разложения в степенной ряд функции e^x. Но при этом первый ряд (с суммой f(x)) содержит только степени, кратные трём, второй (с суммой f'(x)) - только степени, дающие остаток 2 при делении на 3, а третий (с суммой f''(x)) - только степени, дающие остаток 1 при делении на 3. А ряд с суммой e^x содержит вообще все неотрицательные целые степени! Вот и получается, что, если мы объединим все члены первых трёх рядов, то получим все члены ряда с суммой e^x. Вот Вам картинка для наглядности: oktotrop.narod.ru/series.png

[@user-zj7xv3ee9i]

Спасибо большое!

[@FrolovSergei]

@@user-zj7xv3ee9i На здоровье!

[@aitymbetrakhmetullayev]

[@user-es6hc4qk3t]

что еще за врскиан на 15:00?

[@FrolovSergei]

Имеется в виду определитель Вронского. Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка, в первой строке которой стоят n некоторых функций от x, во второй строке - их первые производные и т. д., наконец в n-й строке - их n-1-е производные. Определитель этой матрицы и есть определитель Вронского данных функций. Таким образом, определитель Вронского - это функция (в данном случае аргумента x). Вронскиан обладает рядом интересных свойств. Например, существование точки, в которой вронскиан отличен от нуля, является достаточным (но не необходимым) условием линейной независимости функций. Соответственно, тождественное равенство Вронскиана нулю является необходимым (но не достаточным) условием линейной зависимости функций. Особый интерес представляет вронскиан частных решений однородного дифференциального уравнения n-го порядка. Если он тождественно равен нулю, то решения линейно зависимы (и наоборот), а если в любой точке отличен от нуля, то решения являются линейно независимыми (и наоборот). Третьего не дано, т. е. такой вронскиан не может принимать как нулевые, так и ненулевые значения. Он либо везде ноль, либо нигде не ноль. :-) В нашем случае функции φ1(x) и φ2(2) образуют фундаментальную систему решений однородного д. у., так что они линейно независимы. Из этого следует, что их вронскиан, равный φ1(x)(φ2(2))'-φ2(x)(φ1(2))', отличен от нуля в любой точке.