✓ Приближение корня из двух. Неожиданная задача в ЕГЭ | ЕГЭ-2018. Задание 19. Профиль | Борис Трушин

Неожиданная задача в ЕГЭ. Приближение корня из двух
ЕГЭ-2018. Задание 19. Математика
Досрочная волна, резервный день. Профильный уровень
Как поддержать канал:
Bitcoin: bc1qwzx9t9mz5h5q8sgtz74mdgedxd5wu0g9kq6q5m
Ethereum: 0xAE872DcA8B135cf62Df4B36bE576a2EE64c6066a
Регулярная помощь (Boosty): boosty.to/trushinbv
Регулярная помощь (KZbin): kzbin.infojoin
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Регулярная помощь (Sponsr): sponsr.ru/trushinbv
Разовая помощь (Ю-money, бывшие Яндекс.Деньги): yoomoney.ru/to/410011017613074
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/boristrushin
Разовая помощь (Donation Alerts): www.donationalerts.com/r/bori...
Разовая помощь (Сбер): 2202 2001 0398 5451
В этом учебном году я веду три курса:
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 0 до 70 баллов (10-11 класс)»: trushinbv.ru/ege70
Подойдёт и десятиклассникам, которые хотят уже за год до ЕГЭ стабильно решать на 70+, и одиннадцатиклассникам, которые почти ничего не знают, но хотят за год выйти на приличные баллы. На курсе освоим как всю тестовую часть, так и многие задачи из сложной части ЕГЭ.
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 60 до 100 баллов (11 класс)»: trushinbv.ru/ege100
Для тех, кто уже знает математику на базовом уровне, и хочет за год освоить её на 90+. Там, в основном, будем учиться решать задания из сложной части ЕГЭ, но залезем немного и в некоторые содержательные задания из тестовой части.
(Если у одиннадцатиклассника есть достаточная мотивация, можно параллельно учиться сразу на двух этих курсах - trushinbv.ru/egepack - их программы согласованы между собой)
✔ «Подготовка к перечневым олимпиадам по математике (10-11 класс)»: trushinbv.ru/olymp
В первую очередь этот курс для одиннадцатиклассников, которые освоили стандартную школьную программу хотя бы на «четыре», и хотят за полгода подготовиться к олимпиадам типа Физтех, Ломоносов, ОММО и ПВГ, чтобы попробовать зацепиться за диплом хотя бы в одной из них.
Кроме того, доступны мои прошлогодние курсы в записи:
✔ «Подготовка к ОГЭ»: trushinbv.ru/oge9
Это запись большого годового курса, который я провел пару лет назад. В этом году у меня не будет новых курсов для 9 класса.
✔ Мини-курсы по отдельным заданиям ЕГЭ:
- Теория вероятности с нуля и до ЕГЭ (Задания 3 и 4): trushinbv.ru/egeTV
- Уравнения и неравенства (Задания 12 и 14): trushinbv.ru/egeAL
- Стереометрия (Задание 13): trushinbv.ru/egeST
- Экономические задачи (Задание 15): trushinbv.ru/egeEC
- Планиметрия (Задание 16): trushinbv.ru/egePL
- Задачи с параметром (Задание 17): trushinbv.ru/egePR
- Теория чисел (Задание 18): trushinbv.ru/egeTC
✔ Мини-курсы по перечневым олимпиадам:
- Олимпиада Физтех: trushinbv.ru/fizteh
- Олимпиада ОММО: trushinbv.ru/ommo
- Олимпиада Ломоносов и ПВГ: trushinbv.ru/lomonosov
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/courses
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Магазин мерча: trushinbv.ru/shop
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
вКонтакте: ege_trushin
TikTok: / trushinbv
Twitter: / trushinbv
Instagram: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
Facebook: / trushinbv
KZbin: / trushinbv
Личный сайт: TrushinBV.ru

[@Schaunard]

Такое виртуозно-артистичное преподавание математики (и так весьма нескучной науки) доставляет прямо-таки наслаждение. Как на хорошем спектакле побывал. Спасибо!

[@whiteblaid5882]

Да не за что хуле

[@user-nz6oq2bu6v]

" КТО-ТО С ЭТИМ СОГЛАСЕН, НУ А КТО-ТО НЕ ПРАВ"))0

[@apl3951]

нарезки топ, очень круто, после просмотра нарезок невозможно закрыть видос)

[@lofer12]

Просто искал видос для сна в 2 часа ночи Теперь время 2:21 и я не сплю, решаю матешу Спасибо

[@experiencenothingness5444]

спасиб за нарезки в начале)))

[@tolikfirer]

На wild mathing показывали как извлекать арефметические корни в столбик, так что если не помнишь √2, то можно извлечь ручками))

[@LEA_82]

Если верить видео (множественное число), то лучше вычислить столбиком корень из 2, из 3, но в комментариях к видео пишут, яко бы такой способ не подходит к корню из 5.

[@MiroslavOstapenko]

@@LEA_82 а ты пробовал извлекать?) как же критическое мышление

[@zrtqrtzrt8787]

Это раньше было в учебнике математики для ПТУ. В школьных не было, а для ПТУ и техникумов было.

[@user-mm8hc5uu1e]

Я человек простой : вижу новое видео от Трушина - ставлю лайк, не глядя🔥

[@user-xc4qc6dg4z]

А чего здесь простые бродят? Вы тут ни к чему.

[@vlaschevskiy]

@@user-xc4qc6dg4z, вам жалко лайков и каментов для канала?)))

[@taras167]

Спасибо, очень лаконично, но полнота доказательств прекрасная!!!

[@alexanderlogunov5147]

Спасибо большое за видео!

[@Barsikspit]

очень приятно смотреть)

[@greenslime2481]

Просто лучший!

[@alexandrpetrov1110]

Отлично!

[@geglebecks997]

Для пункта б) есть еще одна мысль(правда, тоже использующая оценку на n):(m/n)^2 - это дробь, у которой знаменатель не больше чем 9801; наименьшая из таких дробей, превосходящая 2 - это 2 + 1/9801 > 2 + 1/10000. (Аналогично в случае когда дробь меньше двойки)

[@giorgipachuashvili7347]

вот этот человек настоящий методист учитель

[@user-ml3ds6cx3o]

Здравствуйте! Большое спасибо за интересное видео! Скажите, пожалуйста, был ли уже разбор задания 19 наподобие: а) Существуют ли такие натуральные числа числа m, n, k m

[@user-up6ww4pd8s]

Вариант в решил за пару сек в уме, из варианта а знаем дробь 141/100, примерно 70/50, и надо найти отличие на 10, сокращаем 35/25, ответ к сожалению не верный, но на бумаге я б сравнил рядом стоящие дроби(34/24 36/26) и думаю получил бы правильный ответ

[@user-xq5vg5zy2c]

Корень извлекается по формуле .В столбик. Пару итераций и точность готова.

[@vlaschevskiy]

Здравствуйте, г-н Трушин! Давно интересовали приближённые рациональные значения корня из 2 и корня из 3. Не то, чтобы 71/50 - это что-то банальное, но ваше видео вдохновило перебрать все рациональные числа в окрестностях корня из двух со знаминателями от 2 до 1000. Также на всякий случай рассчитал отклонение d = |r - q|/r, где r - число, к которому приближаемся (корень из 2 или дальше корень из 3); q - приближённое рациональное значение. Далее, собрав наиболее приближённые значения в порядке убывания отклонения, увидел некоторую закономерность, о которой, если это возможно, хотелось бы как-нибудь узнать больше. 7/5: 0.010050506338833596 17/12: 0.00173460668094231 24/17: 0.0017316030307564397 41/29: 0.0002973093569501634 99/70: 0.00005101910668863161 140/99: 0.00005101650387225448 239/169: 0.000008753233225833026 577/408: 0.0000015018250929351827 816/577: 0.0000015018228374973658 1393/985: 2.576722227077141e-7 Было замечено, что через одну идут пары дробей вида m/n и 2n/m. Позже заметил, что в значениях отклонений для таких пар первые несколько значащих цифр полностью совпадают. Так же в начале списка шли 2/2, 3/2 и 4/3, которые хоть и соответствуют тенденции, но выглядят как "притянутые за уши". Чтобы убедиться, что тенденця существует, расширил диапазон знаминателей до 50000 и в определённый момент следующая пара появилась через две дроби, а не через одну, как было ранее. Так как дальше более точные дроби появляются не столь активно (в диапазоне 1001..50000 только 6 новых дробей), потому ещё расширил диапазон знаминателей до одного миллиона - это дало ещё четыре дроби, выше упомянутые пары среди котрых, как и раньше, повторяются через одну. Ниже приведу оставшиеся найденные дроби из обработанного диапазона. 3363/2378: 4.420957066726649e-8 4756/3363: 4.420956894016479e-8 8119/5741: 7.585162985628847e-9 19601/13860: 1.3014081885620718e-9 47321/33461: 2.232864597620746e-10 66922/47321: 2.2328630275282874e-10 114243/80782: 3.83097849641465e-11 275807/195025: 6.573035069033755e-12 390050/275807: 6.572878059787887e-12 665857/470832: 1.1276404038266872e-12 После я сделал через эту программу поиск приближённых рациональных значений для корня из 3 и на первом миллионе знаминателей пары дробей с совпадающими начальными значащими цифрами появляются стабильно через одну дробь, но сами дроби в парах немного видоизменились. Теперь они выглядят как m/n и 3n/m, что, наверное, вполне естественно. Вот результаты: 3/2: 0.1339745962155613 5/3: 0.03774955135062363 7/4: 0.010362971081845146 12/7: 0.010256681389212973 19/11: 0.002758625945191792 26/15: 0.0007404665953514173 45/26: 0.0007399187102630026 71/41: 0.00019831433016021292 97/56: 0.000053144846316150954 168/97: 0.000053142022091364464 265/153: 0.000014239638883384968 362/209: 0.000003815534184358436 627/362: 0.00000381551962599253 989/571: 0.0000010223668302939906 1351/780: 2.739425442073839e-7 2340/1351: 2.739424689554441e-7 3691/2131: 7.340267067825934e-8 5042/2911: 1.9668187348905707e-8 8733/5042: 1.966818683611566e-8 13775/7953: 5.270074743240606e-9 18817/10864: 1.4121123932417916e-9 32592/18817: 1.4121122650442792e-9 51409/29681: 3.783743169365105e-10 70226/40545: 1.013851308992752e-10 121635/70226: 1.0138500270176277e-10 191861/110771: 2.716595026556546e-11 262087/151316: 7.279182953036344e-12 453948/262087: 7.279054755523917e-12 716035/413403: 1.950396954042636e-12 978122/564719: 5.226612581590527e-13 1694157/978122: 5.225330606466272e-13 Я искал что-то подобное у британских учёных (переводы фильмов Бреди Харана), но пока безрезультатно. Может, вы сможете помочь разобраться с природой появления таких вот пар дробей.

[@trushinbv]

Если m/n с хорошей точностью равно корню из 2, то 2n/m = 2/(m/n) -- это примерно 2/(корень из 2) = корень из 2

[@vlaschevskiy]

О, это хорошо объясняет появление таких пар 👍 А порядок чередования пар и отдельных дробей, наверное, связан с иррациональностью числа

[@user-iz6gi1rf4t]

@@vlaschevskiy у вас не что иное, как подходящие дроби, берущиеся из цепных

[@vlaschevskiy]

@@user-iz6gi1rf4t Спасибо за направление! Вот ведь чувствовал, что всё уже давно рассчитано и описано. Но незнание теории привело к созданию велосипедов 😀 Так, полным перебором были обнаружены все подходящие дроби для корня из двух (с заданной точностью), рассчитываемые по известным формулам. Также почти для каждой второй дроби из этой последовательности были обнаружены дополнительные дроби, имеющие почти такое же приближение к исходному иррациональному числу (как 17/12 и 24/17, 99/70 и 140/99 и т.д.) Для корня из трёх ситуация аналогичная.

[@9TailsExar]

рассуждение для ленивых конечно наиболее верное, а ну как корень из 2 заменял на корень из 42. Понятно, что можно по второму насчитать, но чай там числа немалые будуть. Так что как мне кажется ленивый получше.

[@user-vm4hu6fy7m]

А в случае с k/100 и (k+1)/100 не надо доказывать, что это корень не между 199/100 и 200/100 - тогда 200/100 будет четное - и строго говоря сокращения на 2 не охватывает этот случай?

[@user-ss9lh2tm8x]

Бесконечный спуск Ферма)

[@user-gx2fg2ll1j]

Интересно, что 17/12 можно и на первый пункт "предъявить".

[@milkywxy8439]

вижу нарезки в начале видео ставлю лукас

[@user-gm2wr1ip7n]

MilkyWay на кой черт они нужны?

[@user-qe8ub3gt6t]

Если знать, кто такие цепные дроби, то пункты 1 и 3 становятся гораздо, гораздо проще

[@tetzfun6288]

Борис Викторович,а не могли бы вы рассказать о том, откуда взялся приём симметричных корней?В любом случае благодарю

[@trushinbv]

Поясните, что именно вы имеете в виду.

[@user-xq5vg5zy2c]

Корень из числа без калькулятора ищется так. Делаете приближение. Делите. Число на пром результат. и прибавляем пром результат и делим на два. Потом повторяем. пару повторений и 1,4142135623730950488016891247436

[@oaxite]

6:20 Читерство :) Аллюзия к методу Евклида :)))

[@skripyyy6372]

Привет из 2021

[@user-bz7lt9qo9d]

Как Вы считаете - сейчас, когда остаётся совсем немного времени до экзамена, на что лучше ориентироваться - на варианты Ларина или на книгу Мирошина " ЕГЭ-2018"?

[@trushinbv]

Лучше смотреть реальные варианты последних 3-4 лет.

[@user-bz7lt9qo9d]

Борис Трушин прошу прощеиня за дурацкий вопрос) А где эти варианты найти?)

[@trushinbv]

Это уже все отрешал? trushinbv.ru/shkolnikam/podgotovka-k-ege/matematika/truvariantege/145-truvariantege-001-ot-15-sentyabrya-2018-goda trushinbv.ru/shkolnikam/podgotovka-k-ege/matematika/152-ege-2018-dosrochnaya-volna-30-03-2018 trushinbv.ru/shkolnikam/podgotovka-k-ege/matematika/140-ege-2017-dosrochnaya-volna-rezervnyj-den-14-04-2017 trushinbv.ru/shkolnikam/podgotovka-k-ege/matematika/134-ege-2017-dosrochnaya-volna-31-03-2017 trushinbv.ru/shkolnikam/podgotovka-k-ege/matematika/135-ege-2016-osnovnaya-volna-06-06-2016 trushinbv.ru/shkolnikam/podgotovka-k-ege/matematika/136-ege-2016-osnovnaya-volna-06-06-2016-2 trushinbv.ru/shkolnikam/podgotovka-k-ege/matematika/143-ege-2017-osnovnaya-volna-02-06-2017-01

[@user-bz7lt9qo9d]

Борис Трушин спасибо большое!

[@danyaovcharov9088]

Что так сложно? а? :D

[@Micro-Moo]

Не, не очень красивая задача, а математика начинается только с решения с k/100 и (k+1)/100. (Если бы требование указать два конкретных числа присутствовало, задача была бы вообще тупой и нечестной: сразу видно, что задача решается, не нахождение чисел требует заметного объёма тупых вычислений, поскольку предполагать заведомое знание приближений корня с тремя значащими цифрами совсем уж некорректно.) А в последней задаче про лучшее приближение модуля какой-то шарм есть, но недостатки те же: мало математики, много арифметических вычислений.

[@user-dw1xz2zo7c]

'эх, дробь 99/70 чуть чуть не дотянула до нужной точности в пункте б)

[@user-oc9un6pw5e]

Нас в советское время учили извлекать корень квадратный в столбик.

[@user-jq2mx9jd8p]

569 в конце😁

[@user-mb6fu3kg2i]

Борис Викторович, разберите, пожалуйста, задачу про мотки веревки

[@trushinbv]

Какую? )

[@noklakek7363]

Ради начала ролика уже стоит посмотреть всё видео

[@MichailLLevin]

странно, что не спросили, какое приближение вида m/n наилучшее при двузначных m и n

[@trushinbv]

а как это можно легко руками сделать?

[@GeorgeVolkov]

Я бы так искал ^2. Разделил бы расстояние от 1 до 2 по-полам и получил 1.5, что в квадрате дает немного больше 2, а значит надо искать с 1.4.

[@roman3403]

докажите что a^(-1) равняется 1/a, пожалуйста.

[@user-nt7cg6ok6f]

1. Так определена степень с отрицательным показателем 2. Для выполнения свойств степени в случае отрицательного показателя, ведь a^n / a^m = a^(n - m) Если m > n => n - m < 0, то в числителе после сокращения дроби останется единица, а в знаменателе останется ровно a^|n - m| , то есть положительное число в показателе знаменателя, вместо отрицательного в показателе числителя

[@prestoles]

есть чудесный метод sqrt(x)= sqrt(c) + (x-c)/2sqrt(c) ,где x наше число , c ближайший квадрат к нему и тогда получается для двойки sqrt(2)= sqrt(1,96) +0,04/2,8 =1,41428 точность,в принципе, всегда до трех знаков после запятой ,очень действенно (и не надо помнить корни всех этих чисел)

[@trushinbv]

Нужно же еще доказать, что будет нужная точность.

[@prestoles]

ну ,если привести примеры вычислений с помощью этой формулы,то это подойдет под док-во или нет?

[@gh8499]

в ткачуке показан способ как извлекать любой корень с любой точностью

[@prestoles]

это метод извлечения в столбик ? ну да ,он очень крутой ,но дело в том ,что на егэ такая точность вряд ли нужна будет. имхо

[@gh8499]

Eliot Bond ну если забыл примерное значение можно быстро найти

[@barackobama2910]

в детстве выучил что корень равен 1,41421356237309504. что мешает взять 1414/1000 сократив на делители? Это 19-я задача?

[@zrtqrtzrt8787]

потому что получишь 707/500, а в задаче спрашивали, чтобы m и n были двузначные, а эти трёхзначные

[@donikishmuhamedov2982]

Вопрос? 17/12-√2 тут мы от дроби отнимаем √2 А в другом случае от √2-7/5 отнимаем дробь? Почему так получилось? Спасибо большое

[@theneon9073]

Короче, за двадцать минут решается

[@user-uh2kj3py9u]

нас в школе учили в столбик корни извлекать

[@zrtqrtzrt8787]

Не может быть! В школе этого не было, но было в ПТУ или в техникуме

[@evgeny2624]

Почему нельзя было вычислить корень из 2 методом через столбик? Преимущество в этого в том, что выучив алгоритм мы сможем находить корни из абсолютно любых чисел с желаемой точностью.

[@trushinbv]

Недостаток этого метода в том, что его никто не знает. Пришлось бы потратить минут 10, чтобы рассказать метод и доказать, почему он работает. Скорее всего я сделаю это в одном из ближайших выпусков.

[@mironemiron2454]

Привет от wild mathing'а

[@koleso1v]

То чувство, когда ты понятия не имеешь, как извлекать корень столбиком, но знаешь, как рядом Тейлора.

[@zrtqrtzrt8787]

@@trushinbv те, кто учился в ПТУ или техникуме, знают. Те, кто в школе - не изучали. Помню, когда я учился ~40 лет назад, в школе не изучали извлечение корней в столбик, но в учебнике математики для ПТУ и техникумов этот метод был. Я тогда ещё удивлялся, почему так. Почему для школьников этот метод не дают, а для ПТУ дают.

[@nikolaymatveychuk6145]

да, и правда первая задача сложноватая какая-то :) Хотя может я просто многое забыл уже (минут 20 решал перепробовав 3 способа) корень же намного проще приближать по формуле (a - b)² = a² - 2ab + b². Тогда пренебрегая b² и зная исходное a, мы можем находить значение b и так приближаться к верному значению сверху (разумеется единственным условием является то, что b < 2a, но это достигается очень легко) 2² - 2*2*b = 2; b = 1/2; a = 3/2; 9/4 - 3*b = 2; b = 1/12; a = 3/2 - 1/12 = 17/12; Как видно это достаточно просто и можно даже ещё парочку знаков к точности добавить не напрягаясь 289/144 - (17/6)*b = 2; 2 + 1/144 - (17/6)*b = 2; b = 1/144 * 6/17 = 3/1224 a = 17/12 - 3/1224 = 1.414216 (5 минуток и уже найден корень с точностью до пятого знака после запятой)

[@Andrey-cz9xo]

Извините, конечно, но доказательство иррациональности sqrt(2) Вы сильно переусложнили. Достаточно сказать, что по определению рационального числа (m, n) = 1, после чего выводим, что m и n оба чётные (m, n) = 2 => противоречие. Ч.т.д.

[@trushinbv]

Вы, конечно, правы. Так и нужно доказывать иррациональность корня из двух. Только здесь -- "по определению рационального числа (m, n) = 1" -- вы не совсем точны. 2/6 -- это тоже рациональное число ) Но дело в том, что мы не доказываем иррациональность корня из двух, а показываем, что равенство m^2 = 2n^2 невозможно. И нам никто заранее не гарантирует, что (m, n)=1.

[@user-tv3lc6eu2y]

Я что-то запутался)) Я везде читал, что рациональные числа - это дроби с целыми ВЗАИМНО ПРОСТЫМИ числителем и знаменателем. И всегда говорили, что чисел 2/6, 8/24 и т.д. не существует. Как все-таки правильнее?

[@MsAlexandr76]

27:30 А зачем возводить в квадрат?! После приведения дробей к общему знаменателю достаточно их сравнить. Меньшая - наша!

[@trushinbv]

Каких дробей?

[@MsAlexandr76]

@@trushinbv что вычитаются из корня из 2

[@trushinbv]

@@MsAlexandr76 какая из них меньше и так понятно. Но нас же интересует, какая ближе к корню из двух

[@MsAlexandr76]

@@trushinbv которая меньше, та и ближе к корю. Ведь нас интересует модуль!

[@trushinbv]

@@MsAlexandr76 Какая из дродей 2/3 или 3/2, по-вашему, ближе к корню из 2?

[@Turnik129]

Борис Викторович, сдайте за меня ЕГЭ профиль)) смотрю ваш курс, но все же не уверен.

[@trushinbv]

Я слишком старо выгляжу ))

[@V0V4NCHANNEL]

... поэтому только досрочный смогу

[@Turnik129]

V0V4N CHANNEL кнш, изи))

[@giorginaghebashvili8750]

А по формуле Герона нельзя ?

[@user-py1gv3kd5l]

что бы решить такое задание надо как минимум быть Архимедом или Пифагором, явно задают спецом чтобы ЕГЭ медом не казалось

[@trushinbv]

На самом деле, нет. Довольно простая для ЕГЭ.

[@ilyasyomov378]

Борис, а разве нельзя после третьего из двойных неравенств (24:15) сразу утверждать, что из sqrt(2) < 1.42 следует (10 * sqrt(2) + 10) < 24.2, откуда ясно, что число (10 * sqrt(2) + 10) ближе к 24, чем к 25? При условии, что доказано (!) утверждение sqrt(2) < 1.42.

[@trushinbv]

Нельзя. У нас же гипербола, а она нелинейно убывает. И тот факт, что число 24 ближе к точке пересечения с осью не гарантирует, что там значение ближе к нулю.

[@komis5555]

Я тоже простой . Я про хорду вспомнил .

[@mr_smind]

Тогда m - 0 и n - 0

[@treluxe]

m=√2, n=1. Зачем вообще что-то считать

[@koleso1v]

За неявное доказательство существования n и m надо доп баллы давать.

[@zotrinb5888]

Пздц, кто такие задания придумывает

[@Mike_21_]

Что-то отстаете от остальных преподов,все уже давным-давно этот пример разобрали ))

[@trushinbv]

ой )) До этого ролика у меня было уже четыре стрима с обсуждением этой задачи -- три онлайн и один офлайн )

[@user-xq5vg5zy2c]

Любой знает . что корень из двух 1,4142..

[@AbdominalBreathing]

Кто еще смотрит Бориса Трушина на скорости 0,75?

[@TheCktulhu]

Как по мне, так метод перебора самый некрасивый способ решения олимпиадных задач.

[@trushinbv]

Но это не олимпиадная задача. Это ж просто ЕГЭ