Интересная олимпиадная задача о неравенствах

Доказать, что если произведение трёх положительных чисел равно 1, а сумма этих чисел строго больше суммы их обратных величин, то ровно одно их этих чисел больше 1.
Сначала устанавливаем, используя доказательство от противного, что ни одно из чисел не равно единице. Так что среди трёх чисел одно строго больше единицы, одно строго меньше единицы. Остаётся лишь доказать, что третье число меньше единицы. Это несложно сделать, используя преобразования неравенств и раскрытие скобок.

[@VladimirPetriko]

Здесь же искусство в том, чтобы - переформулировать задачу в это красивое произведение дополнений и рассмотреть знаковый инвариант

[@alfal4239]

(a - 1)(b - 1)(c - 1) = a + b + c - (ab + bc + ca) = a + b + c - (1/a + 1/b + 1/c) > 0 И дело в шляпе.