Как доказать, что число (1·3·5·...·99)/(2·4·6·...·100) больше 1/15 и меньше 1/12?

Рет қаралды 1,679

6 ай бұрын

Доказать, что число (1·3·5·...·99)/(2·4·6·...·100) больше 1/15 и меньше 1/12.
Пусть a = (1·3·5·...·99)/(2·4·6·...·100). Для решения задачи введём в рассмотрение вспомогательное число b = (2·4·6·...·100)/(3·5·...·101). Очевидно, ab=1/101. Разбив каждое из чисел а и b на произведение 50 сомножителей, несложно показать, что a меньше 175/256b и больше 51/101b, откуда, с учётом ab=1/101, и получаем справедливость доказываемых нами неравенств.

Пікірлер: 9

@user-hz5ne2rl5e 6 ай бұрын

Это известные неравенства легко доказуемы математической индукцией. 1/sqrt(4n) < (1/2)*(3/4)*(5/6)*…*((2n-1)/2n)< 1/sqrt(3n+1) для n>1 n=50 1/sqrt(225)

@romank.6813 6 ай бұрын

Приводим всё к виду 100!/2^100/(50!)^2. А дальше по формуле Стирлинга это отношение равно 1/√(2π)/5. Собственно, всё. Интересно, что данное выражение - это вероятность того, что из ста бросков монетки выпадет ровно 50 орлов и 50 решек.

@user-yq9ju4ge6q 6 ай бұрын

а уместно ли ее применять? формула работает при n -> inf, т.е. да, результат вы получите, но насколько он реально отклонен от 100!/2^100/(50!)^2 как оценить? Отклонение от реального результата получается на ~1/5000. Но это же показать надо

@FrolovSergei 6 ай бұрын

Насчёт бросков монетки интересное наблюдение.

@romank.6813 6 ай бұрын

@@user-yq9ju4ge6q Следующее приближение в формуле Стирлинга e^(1/(12n+1)). То есть для 50! это e^(1/601). При разложении в ряд это поправка меньше 1/300, т.е. 0,3%. Что намного меньше, чем расстояние от 5√(2π) до 12 и до 15.

@user-hz5ne2rl5e 6 ай бұрын

Нравится ваш канал и примеры решения задач из прошлых олимпиад. Хочу представить книгу с подборкой задач из олимпиад прошлых лет. Автор немецкий учитель математики Артур Энгель. Он известный составитель задач для олимпиад в Германии. В том числе для Международной Математической Олимпиады. Родился в 1928г и учитель математики старой закалки. Книга Problem Solving Strategies Arthur Engel. 2-ое издание с некоторыми поправками (1999г).

@FrolovSergei 6 ай бұрын

Благодарю за отзыв! Что касается данной книги, то о её существовании не знал. Зафиксировал название и автора. Попробую найти. Спасибо за рекомендацию!