Как доказать, что, если m/n=1+1/2+...+1/1972 и дробь m/n несократима, то m делится на 1973?

Пусть m/n=1+1/2+...+1/1972, m/n - несократимая дробь. Докажите, что m делится на 1973.
Заметим, что число 1973 - простое, а факториал числа 1972 и число 1973 являются взаимно простыми.
Приведём в исходном выражении дроби к общему знаменателю. Докажем, что в числителе полученной дроби стоит сумма 1972-х слагаемых, дающих при делении на 1973 всевозможные положительные остатки, т. е. все натуральные числа от 1 до 1972. Поскольку сумма слагаемых по модулю 1973 сравнима с суммой остатков от деления слагаемых на 1973, а сумма остатков сравнима по этому же модулю с нулём, то сумма слагаемых делится на 1973.
Таким образом, числитель дроби делится на 1973, причём после сокращения всех общих множителей в числителе и знаменателе дроби, приводящего дробь к несократимой, эта делимость сохранится.
Данная задача является частным случаем задачи Уоринга.

[@FrolovSergei]

Я допустил неточность: 11:20 "В силу транзитивности операции сравнения по модулю..." Лучше говорить "В силу транзитивности сравнимости по модулю...". Ну и, строго говоря, сравнимость - это бинарное отношение, а не операция.

[@Vitechka22]

Вспомнилось: - Настоящий программист уверен, что "метод кнута и пряника" - это метод описанный в многотомнике Кнута и позже усовершенствованный Пряником

[@AS_tutor]

Здорово!

[@FrolovSergei]

Спасибо!

[@alfal4239]

Задача решается в младшей группе детского сада. (1/1 + 1/1972) + (1/2 + 1/1971) + … + (1/986 + 1/987) = = 1973/(1*1972) + 1973/(2*1971) + … . Кроме того, 1/(1*1972) + 1/(2*1971) + … = -1^2 - 2^2 - … - 986^2 = -986*(986+1)*(2*986+1)/6

[@romank.6813]

А доказать, что m делится на 1973^2, в младшей группе смогут?

[@mp443]

А как докажешь, что 1/(1*1972)+... нельзя представить в виде a/b, где степень вхождения числа 1973 в b больше, чем в a?

[@alfal4239]

@@mp443 В знаменателе вообще нет числа 1973. Доказывается пристальным взглядом на каждый из знаменателей.

[@romank.6813]

@@mp443 Блин, вот нафига задавать ясельные вопросы? Лучше докажи, что числитель дроби 1+1/2+...+1/(p-1) делится на p^2.

[@mp443]

@@alfal4239 блин, вроде проверял и было составным. Ошибся, с кем не бывает

[@romank.6813]

А теперь задачка со звёздочкой: доказать, что m делится на 1973^2.

[@user-yq9ju4ge6q]

1) для доказательства воспользуемся теоремой Вольстенхольма 2) ой :)

[@romank.6813]

@@user-yq9ju4ge6q А можно поподробней, я записываю?!

[@romank.6813]

@@user-yq9ju4ge6qБлин, а чо гугол комменты удОляИт?! Спрашиваю ишшо раз: а можно подробностев? Как теорема Вольфстенхольма, которая основана на утверждении, что сумма обратных 1/n от 1 до p-1 по модулю p^2 равна нулю, помогает в доказательстве утверждения, на котором она основана?